Question

【题目】如图，已知BCAC，圆心O在AC上，点M与点C分别是AC与⊙O的交点，点D是MB与⊙O的交点，点P是AD延长线与BC的交点，且ADAOAMAP，连接OP．

（1）证明：MD//OP；

（2）求证：PD是⊙O的切线；

（3）若AD24，AMMC，求的值．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）．

【解析】

（1）根据两边成比例夹角相等两三角形相似证明，然后利用平行线的判定定理即可．

（2）欲证明PD是⊙O的切线，只要证明OD⊥PA即可解决问题；

（3）连接CD．由（2）可知：PC=PD，由AM=MC，推出AM=2MO=2R，在Rt△AOD中，，可得，推出，推出，，由，可得，再利用全等三角形的性质求出MD即可解决问题；

（1）证明：连接、、．

∵，，

∴，

∴，

∴，

（2）∴，

∴，，

∵，

∴，

∴，

∵，，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴是的切线．

（3）连接．由（1）可知：，

∵，

∴，

在中，，

∴，

∴，∴，，

∵，

∴，

∵是的中点，

∴，

∴点是的中点，

∴，

∵是的直径，

∴，在中，

∵，，

∴，

∵，

∴，，

∴，

∴．