题目内容
已知抛物线的函数关系式为:y=x2+2(a-1)x+a2-2a(a<0),
(1)若点P(-1,8)在此抛物线上.
①求a的值;
②设抛物线的顶点为A,与y轴的交点为B,O为坐标原点,∠ABO=α,求sinα的值;
(2)设此抛物线与x轴交于点C(x1,0)、D(x2,0),x1,x2满足a(x1+x2)+2x1x2<3,且抛物线的对称轴在直线x=2的右侧,求a的取值范围.
(1)若点P(-1,8)在此抛物线上.
①求a的值;
②设抛物线的顶点为A,与y轴的交点为B,O为坐标原点,∠ABO=α,求sinα的值;
(2)设此抛物线与x轴交于点C(x1,0)、D(x2,0),x1,x2满足a(x1+x2)+2x1x2<3,且抛物线的对称轴在直线x=2的右侧,求a的取值范围.
(1)①由题设:1-2(a-1)+a2-2a=8,
解得:a=-1或a=5(舍去).
②y=x2-4x+3=(x-2)2-1,
∴A(2,-1),B(0,3).
过A作y轴的垂线,垂足为H,则∠ABO=∠ABH=α.
在Rt△AHB中,AH=2,BH=4,
∴AB=2
,sinα=
=
;
(2)由题设x1,x2是方程x2+2(a-1)x+a2-2a=0的两根,
∴
∵a(x1+x2)+2x1x2<3,
∴2a(1-a)+2(a2-2a)<3,解得a>-
;
又抛物线的对称轴方程是x=1-a,
∴1-a>2,
即a<-1.
综上所述:a的取值范围是-
<a<-1.

解得:a=-1或a=5(舍去).
②y=x2-4x+3=(x-2)2-1,
∴A(2,-1),B(0,3).
过A作y轴的垂线,垂足为H,则∠ABO=∠ABH=α.
在Rt△AHB中,AH=2,BH=4,
∴AB=2
5 |
AH |
AB |
| ||
5 |
(2)由题设x1,x2是方程x2+2(a-1)x+a2-2a=0的两根,
∴
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∵a(x1+x2)+2x1x2<3,
∴2a(1-a)+2(a2-2a)<3,解得a>-
3 |
2 |
又抛物线的对称轴方程是x=1-a,
∴1-a>2,
即a<-1.
综上所述:a的取值范围是-
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