Question

如图，在直角梯形OABC中，AB∥OC，O为坐标原点，点A在y轴正半轴上，点C在x轴正半轴上，点B的坐标为（2，2

3

），∠BCO=60°，OH⊥BC，垂足为H．动点P从点H出发，沿线段HO向点O运动，动点Q从点O出发，沿线段OA向点A运动，两点同时出发，速度都为每秒1个单位长度．设点P运动的时间为ts．
（1）求OH的长；
（2）若△OPQ的面积为S（平方单位），求S与t之间的函数关系式．并求t为何值时，△OPQ的面积最大，最大值是多少？

Answer 1

解（1）∵AB∥OC，
∴∠OAB=∠AOC=90°，
在Rt△OAB中，AB=2，AO=2

3

，
∴OB=4，∠ABO=60°，
∴BOC=60°，
而∠BCO=60°，
∴△BOC为等边三角形，
∴OH=2

3

；

（2）∵OP=OH-PH=2

3

-t，
∴xp=3-

3

2

t，yp=

3

-

t

2

，
所以S=

1

2

OQ×xp=

1

2

×t×（3-

3

2

t）=-

3

4

t²+

3

2

t（0＜t＜2

3

），
即S=-

3

4

(t-

3

)2+

3 3

4

∴当t=

3

时，S_最大=

3 3

4

．