题目内容
如图,点A为y轴正半轴上一点,A,B两点关于x轴对称,过点A任作直线交抛物线y=
x2于P,Q两点.
(1)求证:∠ABP=∠ABQ;
(2)若点A的坐标为(0,1),且∠PBQ=60°,试求所有满足条件的直线PQ的函数解析式.
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(1)求证:∠ABP=∠ABQ;
(2)若点A的坐标为(0,1),且∠PBQ=60°,试求所有满足条件的直线PQ的函数解析式.
(1)证明:如图,分别过点P,Q作y轴的垂线,垂足分别为C,D.
设点A的坐标为(0,t),则点B的坐标为(0,-t).
设直线PQ的函数解析式为y=kx+t,并设P,Q的坐标分别为(xP,yP),(xQ,yQ).由
,
得
x2-kx-t=0,
于是xPxQ=-
t,即t=-
xPxQ.
于是
=
=
=
=
=-
.,
又因为
=-
,所以
=
.
因为∠BCP=∠BDQ=90°,
所以△BCP∽△BDQ,
故∠ABP=∠ABQ;
(2)设PC=a,DQ=b,不妨设a≥b>0,由(1)可知
∠ABP=∠ABQ=30°,BC=
a,BD=
b,
所以AC=
a-2,AD=2-
b.
因为PC∥DQ,所以△ACP∽△ADQ.
于是
=
,即
=
,
所以a+b=
ab.
由(1)中xPxQ=-
t,即-ab=-
,所以ab=
,a+b=
,
于是可求得a=2b=
.
将b=
代入y=
x2,得到点Q的坐标(
,
).
再将点Q的坐标代入y=kx+1,求得k=-
.
所以直线PQ的函数解析式为y=-
x+1.
根据对称性知,所求直线PQ的函数解析式为y=-
x+1或y=
x+1.
设点A的坐标为(0,t),则点B的坐标为(0,-t).
设直线PQ的函数解析式为y=kx+t,并设P,Q的坐标分别为(xP,yP),(xQ,yQ).由
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得
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于是xPxQ=-
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2 |
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于是
BC |
BD |
yP+t |
yQ+t |
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xP |
xQ |
又因为
PC |
QD |
xP |
xQ |
BC |
BD |
PC |
QD |
因为∠BCP=∠BDQ=90°,
所以△BCP∽△BDQ,
故∠ABP=∠ABQ;
(2)设PC=a,DQ=b,不妨设a≥b>0,由(1)可知
∠ABP=∠ABQ=30°,BC=
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所以AC=
3 |
3 |
因为PC∥DQ,所以△ACP∽△ADQ.
于是
PC |
DQ |
AC |
AD |
a |
b |
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所以a+b=
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由(1)中xPxQ=-
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于是可求得a=2b=
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将b=
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再将点Q的坐标代入y=kx+1,求得k=-
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所以直线PQ的函数解析式为y=-
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根据对称性知,所求直线PQ的函数解析式为y=-
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