题目内容

如图，抛物线y=ax2+bx+2交x轴于A（-1，0），B（4，0）两点，交y轴于点C，与过点C且平行于x轴的直线交于另一点D，点P是抛物线上一动点．

（1）求抛物线解析式及点D坐标；
（2）点E在x轴上，若以A，E，D，P为顶点的四边形是平行四边形，求此时点P的坐标；
（3）过点P作直线CD的垂线，垂足为Q，若将△CPQ沿CP翻折，点Q的对应点为Q′．是否存在点P，使Q′恰好落在x轴上？若存在，求出此时点P的坐标；若不存在，说明理由．
（1）∵抛物线y=ax2+bx+2经过A（-1，0），B（4，0）两点，
∴
a-b+2=0
16a+4b+2=0
，
解得：
a=-
1
2
b=
3
2

∴y=-
1
2
x2+
3
2
x+2；
当y=2时，-
1
2
x2+
3
2
x+2=2，解得：x1=3，x2=0（舍），
即：点D坐标为（3，2）．

（2）A，E两点都在x轴上，AE有两种可能：
①当AE为一边时，AE∥PD，
∴P1（0，2），
②当AE为对角线时，根据平行四边形对顶点到另一条对角线距离相等，
可知P点、D点到直线AE（即x轴）的距离相等，
∴P点的纵坐标为-2，
代入抛物线的解析式：-
1
2
x2+
3
2
x+2=-2
解得：x1=
3+
41
2
，x2=
3-
41
2
，
∴P点的坐标为（
3-
41
2
，-2），（
3+
41
2
，-2）
综上所述：P1（0，2）；P2（
3-
41
2
，-2）；P3（
3+
41
2
，-2）．

（3）存在满足条件的点P，显然点P在直线CD下方，设直线PQ交x轴于F，点P的坐标为（a，-
1
2
a2+
3
2
a+2），

①当P点在y轴右侧时（如图1），CQ=a，
PQ=2-（-
1
2
a2+
3
2
a+2）=
1
2
a2-
3
2
a，
又∵∠CQ′O+∠FQ′P=90°，∠COQ′=∠Q′FP=90°，
∴∠FQ′P=∠OCQ′，
∴△COQ′∽△Q′FP，
Q′C
CO
=
Q′P
FQ′
，
a
2
=
1
2
a2-
3
2
a
Q′F
，
∴Q′F=a-3，
∴OQ′=OF-Q′F=a-（a-3）=3，CQ=CQ′=
CO2+OQ2
=
32+22
=
13
，
此时a=
13
，点P的坐标为（
13
，
-9+3
13
2
），
②当P点在y轴左侧时（如图2）此时a＜0，-
1
2
a2+
3
2
a+2＜0，CQ=-a，
PQ=2-（-
1
2
a2+
3
2
a+2）=
1
2
a2-
3
2
a，
又∵∠CQ′O+∠FQ′P=90°，∠CQ′O+∠OCQ′=90°，
∴∠FQ′P=∠OCQ′，∠COQ′=∠Q′FP=90°，
∴△COQ′∽△Q′FP，
Q′C
CO
=
Q′P
FQ′
，
-a
2
=
1
2
a2-
3
2
a
Q′F
，Q′F=3-a，
∴OQ′=3，
CQ=CQ′=
CO2+OQ2
=
32+22
=
13
，
此时a=-
13
，点P的坐标为（-
13
，
-9-3
13
2
）．
综上所述，满足条件的点P坐标为（
13
，
-9+3
13
2
），（-
13
，
-9-3
13
2
）．
练习册系列答案
相关题目
二次函数y=
2
3
x2的图象如图所示，点A0位于坐标原点，点A1，A2，A3，…，A2011在y轴的正半轴上，点B1，B2，B3，…，B2011在二次函数y=
2
3
x2位于第一象限的图象上，若△A0B1A1，△A1B2A2，△A2B3A3，…，△A2010B2011A2011都为等边三角形，则△A0B1A1的边长=______，△A2010B2011A2011的边长=______．
如图，是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2米时，水面宽4米．若水面下降1米，则水面宽度将增加多少米？
如图1，直线L：y=-x+3与x轴、y轴分别交于点B、点C，经过B、C两点的抛物线G：y=ax2+bx+c与x轴的另一交点为A，顶点为P，且对称轴是直线x=2．
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（2）将直线L沿y轴向下平移______个单位长度，能使它与抛物线G只有一个公共点；
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（4）连接AC，得△ABC．若点Q在x轴上，且以点P、B、Q为顶点的三角形与△ABC相似，求点Q的坐标．
如图，点M（4，0），以点M为圆心、2为半径的圆与x轴交于点A、B．已知抛物线y=
1
6
x2+bx+c过点A和B，与y轴交于点C．
（1）求点C的坐标，并画出抛物线的大致图象；
（2）点Q（8，m）在抛物线y=
1
6
x2+bx+c上，点P为此抛物线对称轴上一个动点，求PQ+PB的最小值；
（3）CE是过点C的⊙M的切线，点E是切点，求OE所在直线的解析式．
正方形ABCD边长为1，E、F、G、H分别为边AB、BC、CD、DA上的点，且AE=BF=CG=DH．设小正方形EFGH的面积为y，AE=x．则y关于x的函数图象大致是（　　）
A．B．C．D．
低碳经济作为新的发展模式，不仅是实现全球减排目标的战略选择，也是保证经济持续健康增长的良方．中国企业目前已经在多个低碳产品和服务领域取得世界领先地位，其中以可再生资源相关行业最为突出．某单位为了发展低碳经济，采取技术革新，让可再生产资源重新利用．从2011年1月1日开始，该单位每月再生资源处理量y（吨）与月份x之间成一次函数关系，如图所示．月处理成本p（元）与每月再生资源y（吨）满足的函数关系p=10y2-400y+14000．每处理一吨再生资源得到的新产品的售价定为2000元．
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（2）在不改变新产品原定售价的基础上，该单位在哪个月获得的利润最大？最大利润是多少？
（3）随着人们对环保意识的增强，该单位需求的可再生资源数量受限．今年三、四月份再生资源处理量比二月份都减少了m%，该新产品的产量也随之减少，其售价都比原定售价增加了0.8m%．五月份，该单位得到国家科委的技术支持，使五月份的月处理成本比二月份降低了20%．如果该单位从三月份开始，在保持再生产资源处理量和新产品售价不变的情况下，五月份的利润与二月份利润保持一样．求m的值．（m的值精确到个位）
（参考数据：
99
≈9.950，
101
≈10.05，
102
≈10.10）
利客来超市购进一批20元/千克的绿色食品，如果以30元/千克销售，那么每天可售出400千克．由销售经验知，每天销售量y（千克）与销售单价x（元）（x≥30）存在如图所示的一次函数关系．
（1）试求出y与x的函数关系式；
（2）设利客来超市销售该绿色食品每天获得利润p元，当销售单价为何值时，每天可获得最大利润？最大利润是多少？
（3）该超市经理要求每天利润不得低于4180元，请你帮助该超市确定绿色食品销售单价x的范围．
已知抛物线的函数关系式为：y=x2+2（a-1）x+a2-2a（a＜0），
（1）若点P（-1，8）在此抛物线上．
①求a的值；
②设抛物线的顶点为A，与y轴的交点为B，O为坐标原点，∠ABO=α，求sinα的值；
（2）设此抛物线与x轴交于点C（x1，0）、D（x2，0），x1，x2满足a（x1+x2）+2x1x2＜3，且抛物线的对称轴在直线x=2的右侧，求a的取值范围．

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