Question

如图，已知一次函数y=2x+2的图象与y轴交于点B，与反比例函数y=

k1

x

的图象的一个交点为A（1，m）．过点B作AB的垂线BD，与反比例函数y=

k2

x

（x＞0）的图象交于点D（n，-2）．
（1）求k₁和k₂的值；
（2）若直线AB、BD分别交x轴于点C、E，试问在y轴上是否存在一个点F，使得△BDF∽△ACE？若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）将A（1，m）代入一次函数y=2x+2中，得：m=2+2=4，即A（1，4），
将A（1，4）代入反比例解析式y=

k1

x

得：k₁=4；
过A作AM⊥y轴，过D作DN⊥y轴，
∴∠AMB=∠DNB=90°，
∴∠BAM+∠ABM=90°，
∵AC⊥BD，即∠ABD=90°，
∴∠ABM+∠DBN=90°，
∴∠BAM=∠DBN，
∴△ABM∽△BDN，
∴

AM

BN

=

BM

DN

，即

1

4

=

2

DN

，
∴DN=8，
∴D（8，-2），
将D坐标代入y=

k2

x

得：k₂=-16；

（2）符合条件的F坐标为（0，-8），理由为：
由y=2x+2，求出C坐标为（-1，0），
∵OB=ON=2，DN=8，
∴OE=4，
可得AE=5，CE=5，AC=2

5

，BD=4

5

，∠EBO=∠ACE=∠EAC，
若△BDF∽△ACE，则

BD

AC

=

BF

AE

，即

4 5

2 5

=

BF

5

，
解得：BF=10，
则F（0，-8）．
综上所述：F点坐标为（0，-8）时，△BDF∽△ACE．