Question

已知AB是⊙O的直径，AB=4，点C在线段AB的延长线上运动，点D在⊙O 上运动（不与点B重合），连接CD，且CD=OA.

（1）当OC=时（如图），求证：CD是⊙O的切线；
（2）当OC＞时，CD所在直线于⊙O相交，设另一交点为E，连接AE.
①当D为CE中点时，求△ACE的周长;
②连接OD，是否存在四边形AODE为梯形？若存在，请说明梯形个数并求此时AE·ED的值；若不存在，请说明理由。

Answer 1

（1）见解析（2）①②存在，这样的梯形有2个

解：（1）如图①，连接OD，

则。
∵CD=OA=2，OC=，
∴。
∴。
∴△OCD是直角三角形，且∠ODC=90⁰。
∴CD为⊙O的切线。
（2）如图②，连接OE，OD，

∵OD=OE=CD=2，D是CE的中点，
∴OD=OE=CD=DE=2。
∴为等边三角形。
∴。
∵，，
∴，∴，即。
根据勾股定理求得：，。
∴△ACE的周长为。
（3）存在，这样的梯形有2个，(如图③所示)，

连接OE，
由四边形AODE为梯形的定义可知：AE∥OD，
∴。
∵OD=CD，∴。
∴，∴AE=CE。
∵，
∴，。
∴∽。
∴，即：。
∴。
（1）由已知，根据勾股定理的逆定理可得∠ODC=90⁰，从而CD为⊙O的切线。
（2）由已知，判断△EOC和△EOA都是直角三角形，根据已知和勾股定理可求各边长而得到△ACE的周长。
（3）由梯形的定义可知：AE∥OD，根据平行线同位角相等的性质，和等腰三角形等边对等角的性质，可证得∽，从而由比例式可求解。