Question

如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，延长BC至点D，使DC=CB，延长DA与⊙O的另一个交点为E，连接AC、CE．

（1）求证：∠B=∠D；
（2）若AB=，BC－AC=2，求CE的长．

Answer 1

（1）证明见解析；（2）5.

试题分析：（1）由AB为⊙O的直径，易证得AC⊥BD，又由DC=CB，根据线段垂直平分线的性质，可证得AD=AB，即可得：∠B=∠D；
（2）首先设BC=x，则AC=x-2，由在Rt△ABC中，AC²+BC²=AB²，可得方程：（x-2）²+x²=（）²，解此方程即可求得CB的长，继而求得CE的长．
试题解析：证明：（1）∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴AC⊥BC，
又∵DC=CB，
∴AD=AB，
∴∠B=∠D；
（2）解：设BC=x，则AC=x-2，
在Rt△ABC中，AC²+BC²=AB²，
∴（x-2）²+x²=（）²，
解得x=3或－5（舍去）即BC=5
又∵⊙O中，∠E=∠B，
∴∠D=∠E
∴CE=CD=BC=5