Question

如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D是边AB上一点，以BD为直径的⊙O与边AC相切于点E，连结DE并延长交BC的延长线于点F．
（1）求证：∠BDF=∠F；
（2）如果CF＝1，sinA＝，求⊙O的半径．

Answer 1

（1）证明见解析；（2）.

试题分析：（1）连接OE，求出∠ODE=∠F=∠DEO，推出OE∥BC，得出OE⊥AC，根据切线的判定推出即可；
（2）由CF＝1，sinA＝，在Rt△ABC和Rt△AOC中分别应用锐角三角函数定义求解．
（1）如图，连接OE，#%源:中国教育^&出版网@]
∵AC与圆O相切，
∴OE⊥AC.
∵BC⊥AC，
∴OE∥BC.
∴∠1=∠F. 
又∵OE=OD，
∴∠1=∠2.
∴∠BDF=∠F.
（2）∵sinA＝，∴可设BC=3x， AB=5x.
又∵CF=1，∴BF=3x+1.
由（1）得：∠BDF=∠F ，∴BD=BF.
∴BD=3x+1.中国
∴OE=OB=， AO=AB﹣OB=.]
∵ sinA＝，
∴，即，解得：x=.
∴⊙O的半径为．