题目内容
【题目】如图，矩形
中，
为
中点，过点的直线分别与
，
交于点
，
，连结
，交于点
，连结
，
．若
，
，则下列结论：①
；②垂直平分线段
；③
；④四边形是
菱形．其中正确结论的个数是（ ）
A.1个B.2个C.3个D.4个
【答案】C
【解析】
通过证△AEO≌CFO可判断①；利用矩形的性质证△OCB是正三角形，可得②；因OB≠MB，得到③错误；通过证△EOB≌△FCB得到EB=FB，从而证④．
∵四边形ABCD是矩形
∴AB∥DC,AO=OC
∴∠AEO=∠CFO,∠EAO=∠FCO
∴△AEO≌CFO(AAS)
∴AE=FC，①正确
∵四边形ABCD是矩形
∴OC=OB
∵∠BOC=60°
∴△OCB是正三角形，∴OB=OC
∵FO=FC
∴FB是线段OC的垂直平分线，②正确
∵BM⊥OC，∴△OMB是直角三角形，∴OB＞BM
∴
是错误的，即③错误
∵四边形ABCD是矩形
∴EB∥DF，AB=DC
∵AE=FC
∴EB=DF
∴四边形EBFD是平行四边形
∵△AEO≌△CFO，OF=FC，∴AE=EO=OF=FC
∵△OBC是正三角形，∴∠BOC=60°=∠BCO，BC=BO
∴∠FCO=30°，∴∠FOC=30°
∴∠FOB=30°+60°=90°
∴∠EOB=90°=∠FCB
∴△EOB≌△FCB(SAS)
∴EB=FB
∴平行四边形EBFD是菱形，④正确
故选：C
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