Question

如图，直线OC、BC的函数关系式分别为y=x和y=-2x+6，动点P（x，0）在OB上移动（0＜x＜3），过点P作直线l与x轴垂直．
（1）求点C的坐标；
（2）若A点坐标为（0，1），当点P运动到什么位置时，AP+CP最小；
（3）设△OBC中位于直线l左侧部分的面积为S，求S与x之间的函数关系式．

Answer 1

分析：（1）将两直线的y相等即可求出C的坐标；
（2）画出A关于x轴的对称点，然后连接C，与x轴交点就是要求的点P；
（3）分情况讨论，当l在C左侧和l在C右侧两种情况．

解答：解：（1）两直线的解析式相等可得：x=-2x+6，
解得x=2，所以y=2，
所以C的坐标是（2，2）

（2）点A关于x轴的对称点A₁为（0，-1），
直线A₁C的解析式为y=

3

2

x-1，
直线A₁C与x轴的交点坐标是（

2

3

，0），
所以当点P运动到（

2

3

，0）时，AP+CP最小；

（3）∵C（2，2），B（3，0），
∴OB=3，
∴S_△OCB=

1

2

×3×2=3，
当0＜x≤2时，即l在点C左侧，
∵点P坐标为（x，0），
∴与直线y=x的交点D的坐标是（x，x），
∴S=

1

2

•x•x=

1

2

x²；
当2＜x＜3时，即l在点C右侧，
∵P（x，0），
∴直线l与直线BC的交点D的坐标是（x，-2x+6），
∴S_△BDP=

1

2

×PB×PD=

1

2

•（3-x）•（-2x+6）=（3-x）²
所以S=S_△OCB-S_△BPD=3-（3-x）²（或S=-x²+6x-6）．

点评：本题主要考查对于一次函数图象的应用，以及平面展开最短路径的相关问题．