Question

如图，直线OC、BC的函数关系式分别是y₁=x和y₂=-2x+6，动点P（x，0）在OB上运动（0＜x＜3），过点P作直线m与x轴垂直．
（1）求点C的坐标，并回答当x取何值时y₁＞y₂？
（2）设△COB中位于直线m左侧部分的面积为s，求出s与x之间函数关系式．
（3）当x为何值时，直线m平分△COB的面积？

Answer 1

分析：（1）由于C是直线OC、BC的交点，根据它们的解析式即可求出坐标，然后根据图象和交点坐标可以求出当x取何值时y₁＞y₂；
（2）此小题有两种情况：①当0＜x≤2，此时直线m左侧部分是△PQO，由于P（x，0）在OB上运动，所以PQ，OP都可以用x表示，所以s与x之间函数关系式即可求出；②当2＜x＜3，此时直线m左侧部分是四边形OPQC，可以先求出右边的△PQB的面积，然后即可求出左边的面积，而△PQO的面积可以和①一样的方法求出；
（3）利用（2）中的解析式即可求出x为何值时，直线m平分△COB的面积．

解答：解：（1）依题意得
解方程组

y=x y=-2x+6

，
得

x=2 y=2

，
∴C点坐标为（2，2）；
根据图示知，当x＞2时，y₁＞y₂；

（2）如图，过C作CD⊥x轴于点D，
则D（2，0），
∵直线y₂=-2x+6与x轴交于B点，
∴B（3，0），
①当0＜x≤2，此时直线m左侧部分是△P′Q′O，
∵P′（x，0），
∴OP′=x，
而Q′在直线y₁=x上，
∴P′Q′=x，
∴s=

1

2

x²（0＜x≤2）；

②当2＜x＜3，此时直线m左侧部分是四边形OPQC，
∵P（x，0），
∴OP=x，
∴PB=3-x，
而Q在直线y₂=-2x+6上，
∴PQ=-2x+6，
∴S=S_△BOC-S_△PBQ=

1

2

×CD×OB-

1

2

×BP×PQ
=-x²+6x-6（2＜x＜3）；

（3）直线m平分△BOC的面积，
则点P只能在线段OD，即0＜x＜2．
又∵△COB的面积等于3，
故

1

2

x²=3×

1

2

，
解之得x=

3

．
∴当x=

3

时，直线m平分△COB的面积．

点评：此题主要考查平面直角坐标系中图形的面积的求法．解答此题的关键是根据一次函数的特点，分别求出各点的坐标再计算．本题是函数与三角形相结合的问题，在图形中渗透运动的观点是中考中经常出现的问题．