题目内容

【题目】已知抛物线y=(x﹣m)2﹣(x﹣m),其中m是常数.
(1)求证:不论m为何值,该抛物线与x轴一定有两个公共点;
(2)若该抛物线的对称轴为直线x=
①求该抛物线的函数解析式;
②把该抛物线沿y轴向上平移多少个单位长度后,得到的抛物线与x轴只有一个公共点.

【答案】
(1)

证明:y=(x﹣m)2﹣(x﹣m)=x2﹣(2m+1)x+m2+m,

∵△=(2m+1)2﹣4(m2+m)=1>0,

∴不论m为何值,该抛物线与x轴一定有两个公共点


(2)

解:①∵x=﹣ =

∴m=2,

∴抛物线解析式为y=x2﹣5x+6;

②设抛物线沿y轴向上平移k个单位长度后,得到的抛物线与x轴只有一个公共点,则平移后抛物线解析式为y=x2﹣5x+6+k,

∵抛物线y=x2﹣5x+6+k与x轴只有一个公共点,

∴△=52﹣4(6+k)=0,

∴k=

即把该抛物线沿y轴向上平移 个单位长度后,得到的抛物线与x轴只有一个公共点


【解析】(1)先把抛物线解析式化为一般式,再计算△的值,得到△=1>0,于是根据△=b2﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数即可判断不论m为何值,该抛物线与x轴一定有两个公共点;(2)①根据对称轴方程得到=﹣ = ,然后解出m的值即可得到抛物线解析式;②根据抛物线的平移规律,设抛物线沿y轴向上平移k个单位长度后,得到的抛物线与x轴只有一个公共点,则平移后抛物线解析式为y=x2﹣5x+6+k,再利用抛物线与x轴的只有一个交点得到△=52﹣4(6+k)=0,然后解关于k的方程即可.

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