Question

如图，在四边形ABCD中，AD=CD，∠D=90°，∠B=60°，AC⊥BC，点E在AC上，EC=BC，点P是CD边上一动点，若BC=4，则PA+PE的最小值等于

8

．

Answer 1

分析：作点E关于CD的对称点F，交CD于点G，连接AF交CD于P，连接EP，CF．由轴对称的性质可以得出CE=CF，PE=PF，证明△CGF≌△CGE就可以得出∠ECF=90°，由勾股定理就可以求出AF的值，即PA+PE的最小值．

解答：解：作点E关于CD的对称点F，交CD于点G，连接AF交CD于P，连接EP，CF
∴CE=CF，PE=PF，GE=GF．
在△CGE和△CGF中，

CE=CF GE=GF CG=CG

，
∴△CGE≌△CGF（SSS），
∴∠GCE=∠GCF．
∵AD=CD，∠D=90°，
∴∠GCE=45°，
∴∠GCF=45°，
∴∠ACF=90°．
∵BC=4，EC=BC，
∴CF=4．
∵AC⊥BC，
∴∠ACB=90°．
∵∠B=60°，
∴∠BAC=30°，
∴AB=2BC=8．
∵AC⊥BC，CF=BC，
∴AF=AB=8．
∵AF=AP+PF，
∴AF=AP+PE，
∴AP+PE=8
故答案为8．

点评：本题考查了轴对称的性质的运用，勾股定理的运用，全等三角形的判定及性质的运用，最短路线问题的运用，解答时根据最短路线问题画出图形是关键．