Question

如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AC⊥BD，AC=3cm，BD=4cm．作DE∥AC，交BC的延长线于E，则下列结论：①四边形ACED是平行四边形；②∠BDE=∠BOC=90°；③BC+AD=BE=5cm；④S_梯形ABCD=S_△BDE；⑤梯形ABCD的高DH=

BD•DE

EB

=2.4cm，面积为6cm²．其中正确的有（　　）

A．5个

B．4个

C．3个

D．2个

Answer 1

分析：由AD∥BC，DE∥AC，可推出四边形ACED是平行四边形；再根据AC⊥BD，DE∥AC，推出∠BDC=∠BOC=90°；根据勾股定理即可推出BE的值，再根据平行四边形的性质推出AD=CE，即可求出BC+AD=BE=5cm；然后根据BC+AD=BE，结合梯形与三角形的面积公式即可求出S_梯形ABCD=S_△BDE；再通过求证△BHD∽△BDE，依据相似三角形的性质，即可推出DH=

BD•DE

BE

=

4×3

5

=2.4cm，继而求出梯形ABCD的面积为6cm²．

解答：解：∵AD∥BC，
∴AD∥CE，
∵DE∥AC，
∴四边形ACED是平行四边形，
∴AD=CE，AC=DE，
∵AC⊥BD，
∴∠BOC=90°，
∴∠BDC=∠BOC=90°，
∵AC=3cm，BD=4cm，
∴BE=5，
∵BE=BC+CE，
∴BC+AD=BE=5cm，
∵DH⊥BE，
∴S_梯形ABCD=（AD+BC）•DH•

1

2

，S_△BDE=BE•DH•

1

2

，
∵AD+BC=BE，
∴S_梯形ABCD=S_△BDE，
∵∠DBH=∠EBD，∠DHB=∠EDB，
∴△BHD∽△BDE，
∴

BD

BE

=

DH

DE

，
∴DH=

BD•DE

BE

=

4×3

5

=2.4cm，
∴S_梯形ABCD=（AD+BC）•DH•

1

2

=BE•DH•

1

2

=5×2.4×

1

2

=6cm²．
所以，总上所述①②③④⑤均正确．
故选A．

点评：本题主要考查平行四边形的判定及性质、相似三角形的判定及性质、梯形与三角形的面积公式等知识点，关键在于综合熟练的运用相关的性质定理，正确的进行计算．