题目内容
【题目】如图，点O为矩形ABCD的对称中心，AB＝4cm，BC＝6cm，点E、F、G 分别从A、B、C三点同时出发，沿矩形的边按逆时针方向匀速运动，点E的运动速度为1cm/s，点G的运动速度为2cm/s，当点F到达点C（即点F与点C重合）时，三个点随之停止运动．在运动过程中，△EBF关于直线EF的对称图形是△EB′F．设点E、F、G运动的时间为t（单位：s）．
（1）若点F的运动速度为2 cm/s．
①当t＝______s时，四边形EBFB′为正方形；
②若以点E、B、F为顶点的三角形与以点F，C，G为顶点的三角形相似，求t的值；
（2）若存在实数t，使得点B′与点O重合，求出t的值；并求出点F的运动速度．
【答案】（1）①
；②2或
；（2）
【解析】
（1）利用正方形的性质，得到BE=BF，列一元一次方程求解即可；
（2）△EBF与△FCG相似，分两种情况，需要分类讨论，逐一分析计算；
（3）先根据点B′与点O重合，利用勾股定理求出t的值，再一次利用勾股定理求出F的运动速度.
（1）若四边形EBFB′为正方形，则BE=BF，BE=4-t，BF=2t，
即：4-t=2t，
解得t=；
故答案为：；
（2）分两种情况，讨论如下：
①若△EBF∽△FCG，
则有
，即
，
解得：t=2；
②若△EBF∽△GCF，
则有
，即
，
解得：t=
（不合题意，舍去）或t=．
∴当t=2s或t=s时，以点E、B、F为顶点的三角形与以点F，C，G为顶点的三角形相似；
（3）过点O作ON⊥AB于点N，
则在Rt△OEN中，OE=BE=4-t，EN=BE-BN=4-t-2=2-t，ON=3，
由勾股定理得：ON2+EN2=OE2，
即：32+（2-t）2=（4-t）2
解得：t=
；
设F的运动速度为xcm/s，
过点O作OM⊥BC于点M，
则OF=BF=x，
则在Rt△OFM中，FM=
BC-BF=3-x，OM=2，
由勾股定理得：OM2+FM2=OF2，
即：22+（3-x）2=（x）2
解得：x=，
故点B′与点O重合时，t的值为s，点F的运动速度为cm/s.
