题目内容
【题目】如图1，已知AB⊥CD，C是AB上一动点，AB＝CD
（1）在图1中，将BD绕点B逆时针方向旋转90°到BE，若连接DE，则△DBE为等腰直角三角形；若连接AE，试判断AE与BC的数量和位置关系并证明；
（2）如图2，F是CD延长线上一点，且DF＝BC，直线AF，BD相交于点G，∠AGB的度数是一个固定值吗？若是，请求出它的度数；若不是，请说明理由．
【答案】（1）AE＝BC，AE⊥BC，证明见解析；（2）∠AGB的度数是固定值，度数为45°．
【解析】
（1）结论：AE＝BC，AE⊥BC．根据角的和差关系可得∠ABE=∠BDC，利用SAS证明△ABE≌△BDC，再利用全等三角形的性质得出AE＝BC，∠BAE＝∠BCD＝90°，即可解决问题；
（2）如图，作AE⊥AB于A，使AE＝BC，连结DE，BE．利用SAS可证明△ABE≌△BDC，再利用全等三角形的性质得出BE＝BD，∠EBD＝90°，可得出∠EDB＝∠AGB＝45°．即可得答案．
（1）结论：AE＝BC，AE⊥BC．理由如下：
∵AB⊥CD，将BD绕点B逆时针方向旋转90°到BE，
∴∠BCD＝∠EBD＝90°，
∴∠ABE+∠DBC＝90°，∠DBC+∠BDC＝90°，
∴∠ABE＝∠BDC，
在△ABE和△CDB中，
，
∴△ABE≌△CDB（SAS），
∴AE＝BC，∠BAE＝∠BCD＝90°，
∴AE⊥BC，
∴AE与BC的数量和位置关系是AE＝BC，AE⊥BC．
（2）∠AGB的度数是固定值，∠AGB＝45°．理由如下：
如图，作AE⊥AB于A，使AE＝BC，连结DE，BE．
∵AE⊥AB，∠BCD＝90°，
∴∠BAE＝∠BCD=90°，
在Rt△BAE和Rt△DCB中，
，
∴△BAE≌△DCB（SAS），
∴BE＝BD，∠ABE＝∠BDC，
∵∠BDC+∠DBC＝90°，
∴∠ABE+∠DBC＝90°，
∴∠EBD＝90°，
∴△BED是等腰直角三角形，
∴∠EDB＝45°
∵∠BAE=∠ACD=90°，
∴AE∥DF，
∵AE=BC，BC=DF，
∴AE=DF，
∴四边形AFDE是平行四边形，
∴AF∥DE
∴∠AGB＝∠EDB＝45°．
∴∠AGB的度数是固定值，∠AGB＝45°．
