题目内容
【题目】（操作体验）
如图①，已知线段AB和直线l，用直尺和圆规在l上作出所有的点P，使得∠APB＝30°．
如图②，小明的作图方法如下：
第一步：分别以点A、B为圆心，AB长为半径作弧，两弧在AB上方交于点O；
第二步：连接OA、OB；
第三步：以O为圆心，OA长为半径作⊙O，交l于P1，P2．
所以图中P1，P2即为所求的点．
（1） 在图②中，连接P1A，P1 B，说明∠A P1B＝30°；
（方法迁移）
（2）如图③，用直尺和圆规在矩形ABCD内作出所有的点P，使得∠BPC＝45°．
（不写作法，保留作图痕迹）
（深入探究）
（3）已知矩形ABCD，BC＝2，AB＝m，P为AD边上的点，若满足∠BPC＝45°的点P恰有两个，则m的取值范围为 ．
（4）已知矩形ABCD，AB＝3，BC＝2，P为矩形ABCD内一点，且∠BPC＝135°，若点P绕点A逆时针旋转90°到点Q，则PQ的最小值为 ．
【答案】（1）30°；（2）详见解析；（3）2≤m＜
＋1；（4）
―2.
【解析】
（1）根据作图可知OA＝OB＝AB，得到△OAB是等边三角形，根据等边三角形的性质有∠AOB＝60°，根据圆周角定理即可求解.
（2）第一步：分别以点B、C为圆心，以大于
BC长为半径作弧，作出BC的垂直平分线，与BC交于点H,
第二步：以点H为圆心，以HB长为半径作圆,与BC的垂直平分线交于点O;
第三步：以O为圆心，OB长为半径作⊙O，交AB交于点E,与CD交于点F, 弧
上所有的点即为所求的点（不含点E、F）．
（3）当
时，满足∠BPC＝45°的点P恰有两个，再求出满足∠BPC＝45°的点P变为1个时的临界值,即可求解.
（4）按照（2）的作图步骤，则点P在以劣弧BC上（不包含点B,C）,根据等腰直角三角形的性质可得
当AP最小时，PQ取得最小值，当点A,P,O在同一条直线上时，AP最小，即图中的AE，求出AE，即可求解.
（1）解：由作法可知：OA＝OB＝AB，
∴△OAB是等边三角形，
∴∠AOB＝60°．
∴∠AP1B＝30°．
（2）如图，弧上所有的点即为所求的点（不含点E、F）．
（3）如图：只要
即可，
当时，满足∠BPC＝45°的点P恰有两个，
满足∠BPC＝45°的点P变为1个时,即到GH的位置时，
过点
作
于点M,
此时：
则
的取值范围是：
故答案为：
（4）按照（2）的作图步骤，则点P在以劣弧BC上（不包含点B,C）,如图，
当AP最小时，PQ取得最小值，当点A,P,O在同一条直线上时，AP最小，即图中的AE，
故答案为：
