题目内容
【题目】如图,已知抛物线y=x2+bx+c的顶点坐标为M(0,﹣1),与x轴交于A、B两点.
(1)求抛物线的解析式;
(2)判断△MAB的形状,并说明理由;
(3)过原点的任意直线(不与y轴重合)交抛物线于C、D两点,连接MC,MD,试判断MC、MD是否垂直,并说明理由.
【答案】
(1)
解:∵抛物线y=x2+bx+c的顶点坐标为M(0,﹣1),
∴ ,解得b=0,c=﹣1,
∴抛物线的解析式为:y=x2﹣1
(2)
解:△MAB是等腰直角三角形.
由抛物线的解析式为:y=x2﹣1可知A(﹣1,0),B(1,0),
∴OA=OB=OM=1,
∴∠AMO=∠MAO=∠BMO=∠MBO=45°,
∴∠AMB=∠AMO+∠BMO=90°,AM=BM,
∴△MAB是等腰直角三角形
(3)
解:MC⊥MD;
分别过C点,D点作y轴的平行线,交x轴于E、F,过M点作x轴的平行线交EC延长线于G,交DF于H,
设D(m,m2﹣1),C(n,n2﹣1),
∴OE=﹣n,CE=1﹣n2,OF=m,DF=m2﹣1,
∵OM=1,
∴CG=n2,DH=m2,
∵EG∥DH,
∴ ,
即 = ,
m(1﹣n2)=﹣n(m2﹣1),
m﹣mn2=﹣m2n+n,
(m2n﹣mn2)=﹣m+n,
mn(m﹣n)=﹣(m﹣n),
∴mn=﹣1
解得m=﹣ ,
∵ = =﹣n, = = =﹣n,
∴ = ,
∵∠CGM=∠MHD=90°,
∴△CGM∽△MHD,
∴∠CMG=∠MDH,
∵∠MDH+∠DMH=90°
∴∠CMG+∠DMH=90°,
∴∠CMD=90°,
即MC⊥MD.
【解析】(1)待定系数法即可解得.(2)由抛物线的解析式可知OA=OB=OM=1,得出∠AMO=∠MAO=∠BMO=∠MBO=45°从而得出△MAB是等腰直角三角形.(3)分别过C点,D点作y轴的平行线,交x轴于E、F,过M点作x轴的平行线交EC于G,交DF于H,设D(m,m2﹣1),C(n,n2﹣1),通过EG∥DH,得出 ,从而求得m、n的关系,根据m、n的关系,得出△CGM∽△MHD,利用对应角相等得出∠CMG+∠DMH=90°,即可求得结论.
【考点精析】解答此题的关键在于理解二次函数的图象的相关知识,掌握二次函数图像关键点:1、开口方向2、对称轴 3、顶点 4、与x轴交点 5、与y轴交点,以及对二次函数的性质的理解,了解增减性:当a>0时,对称轴左边,y随x增大而减小;对称轴右边,y随x增大而增大;当a<0时,对称轴左边,y随x增大而增大;对称轴右边,y随x增大而减小.