题目内容
【题目】如图，在平面直角坐标系xOy中，已知正比例函数
与一次函数
的
图像交于点A．
（1）求点A的坐标；
（2）在y轴上确定点M，使得△AOM是等腰三角形，请直接写出点M的坐标；
（3）如图，设x轴上一点P（a，0），过点P作x轴的垂线（垂线位于点A的右侧），分别交和的图像于点B、C，连接OC，若BC=
OA，求△ABC的面积及点B、点C的坐标；
（4）在（3）的条件下，设直线交x轴于点D，在直线BC上确定点E，使得△ADE的周长最小，请直接写出点E的坐标．
【答案】（1）（3，4）； （2）点M为（0，5）、（0，﹣5）、（0，8）、（0，
）；（3）点B（9，12）、C（9，﹣2）；（4）点E坐标为（9，1）．
【解析】
试题（1）联立方程组，求解.(2)分类讨论在y轴上确定点OM= OA,OM=AM,总共有4种可能性.(3) 设点B（a，
a），C（a，﹣a+7），利用BC=
OA，求a值.过点A作AQ⊥BC，求得△ABC的面积及点B、点C的坐标.(4)利用对称求最小值.
试题解析：
解：（1）联立得：
，解得：
，
则点A的坐标为（3，4）.
（2）根据勾股定理得：OA=
=5，
如图1所示，
分四种情况考虑：
当OM1=OA=5时，M1（0，5）；
当OM2=OA=5时，M2（0，﹣5）；
当AM3=OA=5时，M3（0，8）；
当OM4=AM4时，M4（0，），
综上，点M为（0，5）、（0，﹣5）、（0，8）、（0，）；
（3）设点B（a，a），C（a，﹣a+7），
∵BC=OA=×5=14，
∴a﹣（﹣a+7）=14，
解得：a=9，
过点A作AQ⊥BC，如图2所示，
∴S△ABC=
BCAQ=×14×（9﹣
当a=9时，a=×9=12，﹣a+7=﹣9+7=﹣2，
∴点B（9，12）、C（9，﹣2）.
（4）如图3所示，
作出D关于直线BC的对称点D′，连接AD′，与直线BC交于点E，连接DE，此时△ADE周长最小，
对于直线y=﹣x+7，令y=0，得到x=7，即D（7，0），
由（3）得到直线BC为直线x=9，
∴D′（11，0），
设直线AD′解析式为y=kx+b，
把A与D′坐标代入得：
，
解得：
，
∴直线AD′解析式为y=﹣x+
，
令x=9，得到y=1，
则此时点E坐标为（9，1）．
轻松课堂单元期中期末专题冲刺100分系列答案
