题目内容
【题目】如图:在△ABC中,∠C=90°,AC=BC,过点C在△ABC外作直线MN,AM⊥MN于M,BN⊥MN于N。
(1)求证:MN=AM+BN;
(2)若过点C在△ABC内作直线MN,AM⊥MN于M,BN⊥MN于N,则AM、BN与MN之间有什么关系?请说明理由。
【答案】(1)见解析;(2)MN=BN-AM
【解析】
试题分析:(1)根据同角的余角相等可得∠MAC=∠NCB,又∠AMC=∠CNB=90°,AC=BC,即可证得△AMC≌△CNB,从而可得AM=CN,MC=BN,即可得到结论;
(2)类似于(1)的方法,证得△AMC≌△CNB,从而有AM=CN,MC=BN,可推出AM、BN与MN之间的数量关系.
∵∠C=90°
∴∠MCA+∠BCN=90°
∵AM⊥MN,BN⊥MN
∴∠AMC=∠CNB=90°
∴∠MAC+∠MCA=90°
∴∠MAC=∠BCN
在△AMC和△CNB中
∠MAC=∠BCN
∠AMC=∠CMB,
AC=BC
∴△AMC≌△CNB
∴AM=CN,MC=BN
∴MN=MC+CN=AM+BN
(2)(7分)答: MN=BN-AM
证明:∵∠AMC=∠BNC=90°,
∴∠ACM+∠NCB=90°,
∠NCB+∠CBN=90°,
故∠ACM=∠CBN,
在△AMC和△CNB中,
∠ACM=∠CBN
∠AMC=∠BNC=90°
AC=BC,
∴△AMC≌△CNB,
∴CM =BN,
CN=AM,
∴MN=CM-CN=BN-AM,
∴MN=BN-AM。
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