Question

已知AB是半圆O的直径，点C是半圆O上的动点，点D是线段AB延长线上的动点，在运动过程中，保持CD=OA．
（1）当直线CD与半圆O相切时（如图①），求∠ODC的度数；
（2）当直线CD与半圆O相交时（如图②），设另一交点为E，连接AE，若AE∥OC，
①AE与OD的大小有什么关系？为什么？
②求∠ODC的度数．

Answer 1

(1) ∠ODC=45°；(2) AE=OD．理由见解析；∠ODC=36°．

试题分析：（1）连接OC，因为CD是⊙O的切线，得出∠OCD=90°，由OC=CD，得出∠ODC=∠COD，即可求得．
（2）连接OE，
①证明△AOE≌△OCD，即可得AE=OD；
②利用等腰三角形及平行线的性质，可求得∠ODC的度数．
试题解析：（1）如图①，连接OC，

∵OC=OA，CD=OA，
∴OC=CD，
∴∠ODC=∠COD，
∵CD是⊙O的切线，
∴∠OCD=90°，
∴∠ODC=45°；
（2）如图②，连接OE．

∵CD=OA，∴CD=OC=OE=OA，
∴∠1=∠2，∠3=∠4．
∵AE∥OC，
∴∠2=∠3．
设∠ODC=∠1=x，则∠2=∠3=∠4=x．
∴∠AOE=∠OCD=180°-2x．
①AE=OD．理由如下：
在△AOE与△OCD中，

∴△AOE≌△OCD（SAS），
∴AE=OD．
②∠6=∠1+∠2=2x．
∵OE=OC，∴∠5=∠6=2x．
∵AE∥OC，
∴∠4+∠5+∠6=180°，即：x+2x+2x=180°，
∴x=36°．
∴∠ODC=36°．
【考点】直线与圆的位置关系；平行线的性质；全等三角形的判定与性质．