Question

抛物线T：y=（x-2a）²+（a-1）（a为常数），当a取不同的值时，顶点在不同的位置，其图象构成“抛物线系”．
（1）抛物线T：y=x²+4x+4是否属于这个抛物线系？
（2）设抛物线T₁与y轴交于点A，顶点C在x轴上，若抛物线T₂：y=（x-2a）²+（a-1）（a＜1）的顶点B到C的距离为2

5

，T₂与y轴交于点D，在抛物线T₁上是否存在点E，使四边形BCED为菱形？若存在．求出点E的坐标；若不存在，说明理由．
（3）在（2）中E不变的条件下，设抛物线T₂向上平移得到抛物线T₃，设抛物线T₃与y轴交于点F，抛物线T₂向上平移多少个单位，可使得∠FEC=45°？

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：压轴题

分析：（1）先求出抛物线T的顶点坐标所在的直线，然后求出抛物线y=x²+4x+4的顶点坐标，代入直线解析式验证即可进行判断；
（2）根据x轴上点的纵坐标为0求出a的值，从而求出点C的坐标，再求出点B的坐标，从而得到抛物线T₂的解析式并求出点D的坐标，利用勾股定理列式求出BC=BD，过点D作DE∥BC，过点C作CE∥BD相交于点E，然后求出直线DE、CE的解析式，联立求解得到点E的坐标，再代入抛物线T₁进行验证即可；
（3）连接AE，过点E作EG⊥x轴于G，可得四边形AEGO是正方形，延长EC交y轴于点H，连接OE，根据正方形的对角线平分一组对角可得∠FOE=45°，从而得到∠FOE=∠FEC，然后利用两组角对应相等两三角形相似求出△FEO和△FHO相似，根据相似三角形对应边成比例列式求出EF²=FO•FH，设FO=m，根据勾股定理表示出EF²，然后列出方程求解得到m，再求出FD的长度，即可得到平移距离．

解答：解：（1）设抛物线y=（x-2a）²+（a-1）的顶点坐标为（x，y），
则

x=2a y=a-1

，
消掉a得，y=

1

2

x-1，
∵y=x²+4x+4=（x+2）²，
∴y=x²+4x+4的顶点坐标为（-2，0），
当x=-2时，y=

1

2

×（-2）-1=-2≠0，
∴y=x²+4x+4不属于这个抛物线系；

（2）∵顶点C在x轴上，
∴a-1=0，
解得a=1，
∴C（2，0），
设点B（x，

1

2

x-1），
∵BC=2

5

，
∴（x-2）²+（

1

2

x-1）²=（2

5

）²，
整理得，x²-4x-12=0，
解得x₁=-2，x₂=6（舍去），
∴点B（-2，-2），
∴T₂：y=（x+2）²-2，
令x=0，则y=（0+2）²-2=2，
∴点D（0，2），
∴BD=

(-2-0)2+(-2-2)2

=2

5

，
∴BC=BD，
过点D作DE∥BC，过点C作CE∥BD相交于点E，
易求直线DE的解析式为y=

1

2

x+2，
设直线BD的解析式为y=kx+b，
则

-2k+b=-2 b=2

，
解得

k=2 b=2

，
∴直线BD的解析式为y=2x+2，
易求直线CE的解析式为y=2x-4，
联立

y= 1 2 x+2 y=2x-4

，
解得

x=4 y=4

，
∴四边形BCED为菱形时点E（4，4），
当x=4时，T₁：y=（4-2）²=4，
∴点E（4，4）在抛物线T₁上，
故，抛物线T₁上存在点E（4，4），使四边形BCED为菱形；

（3）连接AE，过点E作EG⊥x轴于G，
∵E（4，4），
∴四边形AEGO是正方形，
延长EC交y轴于点H，连接OE，
则∠FOE=45°，
∴∠FOE=∠FEC，
又∵∠EFO=∠HFE，
∴△FEO∽△FHO，
∴

EF

HF

=

FO

EF

，
∴EF²=FO•FH，
设FO=m，则AF=4-m，
由勾股定理得，EF²=（4-m）²+4²，
∴（4-m）²+4²=m（m+4），
解得m=

8

3

，
∴向上平移

8

3

-2=

2

3

个单位．

点评：本题是二次函数综合题型，主要利用了抛物线的顶点坐标的求解，菱形的性质，二次函数图象上点的坐标特征，相似三角形的判顶与性质，（2）根据平行直线的解析式的k值相等求出菱形的顶点E的坐标是解题的关键，（3）难点在于作辅助线构造出相似三角形．