题目内容
【题目】如图,在中,
,
,点
为
边上一点,且AD=3cm,动点
从点
出发沿线段
向终点
运动.作
,与边
相交于点
.
找出图中的一对相似三角形,并说明理由;
当
为等腰三角形时,求
的长;
求动点
从点
出发沿线段
向终点
运动的过程中点
的运动路线长.
【答案】(1);(2)
的长为
或
或
;(3)
cm.
【解析】
(1)由等腰直角三角形的性质得出∠A=∠B=45°由三角形的外角性质和已知条件证出∠ADE=∠BEF,即可得出结论;
(2)分三种情况:①若EF=BF,由相似三角形的性质和勾股定理求出AE=DE=即可;
②若EF=BE,由相似三角形的性质和勾股定理求出AE即可;
③若BF=BE,则∠FEB=∠EFB,由△ADE∽△BEF得出AE=AD=3即可.
(3)由(1)得出△ADE∽△BEF,得到,得出
是
的二次函数,即可得出结果.
解:,理由如下:
∵在中,
,
,
∴,
∵,
,
∴,
∴;
分三种情况
①如图,若
,则
,
又∵,
∴,
∴,
∴;
②如图,若
,则
又∵,
∴,
∴,
∴;
③如图,若
,则
又∵,
∴,
∴.
综上所述,当为等腰三角形时,
的长为
或
或
.
设
,
长为
.
∵在中,
,
.
∴,
,
由得:
,
∴,
∴,
∴,
∴,
∴当时,
有最大值
,
∵从运动的过程中可以得出点运动的路程正好是
,
∴点运动路程为
.

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