题目内容
【题目】在平面直角坐标系xOy中(如图).已知抛物线y=﹣x2+bx+c经过点A(﹣1,0)和点B(0,
),顶点为C,点D在其对称轴上且位于点C下方,将线段DC绕点D按顺时针方向旋转90°,点C落在抛物线上的点P处.
(1)求这条抛物线的表达式;
(2)求线段CD的长;
(3)将抛物线平移,使其顶点C移到原点O的位置,这时点P落在点E的位置,如果点M在y轴上,且以O、D、E、M为顶点的四边形面积为8,求点M的坐标.
【答案】(1)抛物线解析式为y=﹣x2+2x+
;(2)线段CD的长为2;(3)M点的坐标为(0,
)或(0,﹣
).
【解析】(1)利用待定系数法求抛物线解析式;
(2)利用配方法得到y=﹣(x﹣2)2+
,则根据二次函数的性质得到C点坐标和抛物线的对称轴为直线x=2,如图,设CD=t,则D(2,
﹣t),根据旋转性质得∠PDC=90°,DP=DC=t,则P(2+t,
﹣t),然后把P(2+t,
﹣t)代入y=﹣
x2+2x+
得到关于t的方程,从而解方程可得到CD的长;
(3)P点坐标为(4,),D点坐标为(2,
),利用抛物线的平移规律确定E点坐标为(2,﹣2),设M(0,m),当m>0时,利用梯形面积公式得到
(m+
+2)2=8当m<0时,利用梯形面积公式得到
(﹣m+
+2)2=8,然后分别解方程求出m即可得到对应的M点坐标.
(1)把A(﹣1,0)和点B(0,)代入y=﹣
x2+bx+c得
,解得
,
∴抛物线解析式为y=﹣x2+2x+
;
(2)∵y=﹣(x﹣2)2+
,
∴C(2,),抛物线的对称轴为直线x=2,
如图,设CD=t,则D(2,﹣t),
∵线段DC绕点D按顺时针方向旋转90°,点C落在抛物线上的点P处,
∴∠PDC=90°,DP=DC=t,
∴P(2+t,﹣t),
把P(2+t,﹣t)代入y=﹣
x2+2x+
得﹣
(2+t)2+2(2+t)+
=
﹣t,
整理得t2﹣2t=0,解得t1=0(舍去),t2=2,
∴线段CD的长为2;
(3)P点坐标为(4,),D点坐标为(2,
),
∵抛物线平移,使其顶点C(2,)移到原点O的位置,
∴抛物线向左平移2个单位,向下平移个单位,
而P点(4,)向左平移2个单位,向下平移
个单位得到点E,
∴E点坐标为(2,﹣2),
设M(0,m),
当m>0时,(m+
+2)2=8,解得m=
,此时M点坐标为(0,
);
当m<0时,(﹣m+
+2)2=8,解得m=﹣
,此时M点坐标为(0,﹣
);
综上所述,M点的坐标为(0,)或(0,﹣
).

【题目】某校组织七年级学生体育健康抽测,(1)班25名学生的成绩(满分为100分)统计如下:
90,74,88,65,98,76,81,42,85,70,55,80,95,88,72,87,61,56,76,66,78,72,82,63,100.
(1)90分及以上为A级,75-89分为B级,60-74分为C级,60分以下为D级,请把下面表格补充完整,并将图中的条形图补充完整;
等级 | A | B | C | D |
人数 | 8 |
(2)该校七年级共有1000名学生,如果60分以上为合格,请估计七年级有多少人合格?
(3)请选择合适的统计图表示出抽测中每一个等级的人数占总人数的百分比.