Question

【题目】[知识生成]通常，用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个恒等式．

例如：如图①是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四个小长方形，然后按图②的形状拼成一个正方形．请解答下列问题：

（1）图②中阴影部分的正方形的边长是________________；

（2）请用两种不同的方法求图②中阴影部分的面积：

方法1:________________________；方法2：_______________________；

（3）观察图②，请你写出（a+b）2、、之间的等量关系是____________________________________________；

（4）根据（3）中的等量关系解决如下问题:若，，则=

[知识迁移]

类似地，用两种不同的方法计算同一几何体的体积，也可以得到一个恒等式．

（5）根据图③，写出一个代数恒等式：____________________________；

（6）已知，，利用上面的规律求的值．

Answer 1

【答案】（1） a-b；（2）； ； （3）；（4） 14；（5） （a+b）3=a3+b3+3a2b+3ab2；（6） 9．

【解析】

（1）由图直接求得边长即可，

（2）已知边长直接求面积，阴影面积是大正方形面积减去四个长方形面积，可得答案，

（3）利用面积相等推导公式；

（4）利用（3）中的公式求解即可，

（5）利用体积相等推导；

（6）应用（5）中的公式即可．

解：（1）由图直接求得阴影边长为a-b；

故答案为：a-b；

（2）方法一：已知边长直接求面积为；

方法二：阴影面积是大正方形面积减去四个长方形面积，

∴面积为；

故答案为；；

（3）由阴影部分面积相等可得；

故答案为：

（4）由，

可得，

∵，

∴ ，

∴ ；

故答案为；

（5）方法一：正方体棱长为a+b， ∴体积为，

方法二：正方体体积是长方体和小正方体的体积和，

即，

∴；

故答案为；

（6）∵；

将a+b=3，ab=1，代入得：

；