题目内容
【题目】[知识生成]通常,用两种不同的方法计算同一个图形的面积,可以得到一个恒等式.
例如:如图①是一个长为,宽为
的长方形,沿图中虚线用剪刀均分成四个小长方形,然后按图②的形状拼成一个正方形.请解答下列问题:
(1)图②中阴影部分的正方形的边长是________________;
(2)请用两种不同的方法求图②中阴影部分的面积:
方法1:________________________;方法2:_______________________;
(3)观察图②,请你写出(a+b)2、、
之间的等量关系是____________________________________________;
(4)根据(3)中的等量关系解决如下问题:若,
,则
=
[知识迁移]
类似地,用两种不同的方法计算同一几何体的体积,也可以得到一个恒等式.
(5)根据图③,写出一个代数恒等式:____________________________;
(6)已知,
,利用上面的规律求
的值.
【答案】(1) a-b;(2);
; (3)
;(4) 14;(5) (a+b)3=a3+b3+3a2b+3ab2;(6) 9.
【解析】
(1)由图直接求得边长即可,
(2)已知边长直接求面积,阴影面积是大正方形面积减去四个长方形面积,可得答案,
(3)利用面积相等推导公式;
(4)利用(3)中的公式求解即可,
(5)利用体积相等推导;
(6)应用(5)中的公式即可.
解:(1)由图直接求得阴影边长为a-b;
故答案为:a-b;
(2)方法一:已知边长直接求面积为;
方法二:阴影面积是大正方形面积减去四个长方形面积,
∴面积为;
故答案为;
;
(3)由阴影部分面积相等可得;
故答案为:
(4)由,
可得,
∵,
∴ ,
∴ ;
故答案为;
(5)方法一:正方体棱长为a+b, ∴体积为,
方法二:正方体体积是长方体和小正方体的体积和,
即,
∴;
故答案为;
(6)∵;
将a+b=3,ab=1,代入得:
;

【题目】如图,有一个形如六边形的点阵,它的中心是一个点,作为第一层,第二层每边有两个点,第三层每边有三个点,依此类推.
(1)填写下表:
层 数 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | … |
该层对应的点数 | 1 | 6 | … |
(2)写出第n层所对应的点数(n≥2).
(3)如果某一层共96个点,你知道它是第几层吗?
(4)有没有一层,它的点数为100个?
(5)写出n层的六边形点阵的总点数.