题目内容

【题目】[知识生成]通常,用两种不同的方法计算同一个图形的面积,可以得到一个恒等式.

例如:如图①是一个长为,宽为的长方形,沿图中虚线用剪刀均分成四个小长方形,然后按图②的形状拼成一个正方形.请解答下列问题:

1)图②中阴影部分的正方形的边长是________________

2)请用两种不同的方法求图②中阴影部分的面积:

方法1:________________________;方法2_______________________

3)观察图②,请你写出(a+b2之间的等量关系是____________________________________________

4)根据(3)中的等量关系解决如下问题:,则=

[知识迁移]

类似地,用两种不同的方法计算同一几何体的体积,也可以得到一个恒等式.

5)根据图③,写出一个代数恒等式:____________________________

6)已知,利用上面的规律求的值.

【答案】1 a-b;(2 3;(4 14;(5 a+b3=a3+b3+3a2b+3ab2;(6 9

【解析】

1)由图直接求得边长即可,

2)已知边长直接求面积,阴影面积是大正方形面积减去四个长方形面积,可得答案,

3)利用面积相等推导公式

4)利用(3)中的公式求解即可,

5)利用体积相等推导

6)应用(5)中的公式即可.

解:(1)由图直接求得阴影边长为a-b

故答案为:a-b

2)方法一:已知边长直接求面积为

方法二:阴影面积是大正方形面积减去四个长方形面积,

∴面积为

故答案为

3)由阴影部分面积相等可得

故答案为:

4)由

可得

故答案为

5)方法一:正方体棱长为a+b ∴体积为

方法二:正方体体积是长方体和小正方体的体积和,

故答案为

6)∵

a+b=3ab=1,代入得:

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