题目内容

为了美化校园环境,某中学准备在一块空地(如图,矩形ABCD,AB=10m,BC=20m)上进行绿化.中间的一块(图中四边形EFGH)上种花,其他的四块(图中的四个Rt△)上铺设草坪,并要求AE=AH=CF=CG.那么在满足上述条件的所有设计中,是否存在一种设计,使得四边形EFGH(中间种花的一块)面积最大?若存在,请求出该设计中AE的长和四边形EFGH的面积;若不存在,请说明理由!
存在.设AE=AH=CG=CF=xm
则BE=DG=(10-x)m,BF=DH=(20-x)m
∴四边形EFGH的面积
S=10×20-2×
1
2
x•x-2×
1
2
(10-x)(20-x)
即S=-2x2+30x(0<x<10)
∴x=-
30
2×(-2)
=7.5
又∵0<7.5<10
∴S最大值=
-302
-4×2
=112.5
答:当AE的长为7.5m时,种花的这一块面积最大,最大面积是112.5m2
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