Question

【题目】已知二次函数图象过点A（-2，0），B（4，0），C（0，4）

（1）求二次函数的解析式；

（2）如图，当点P为AC的中点时，在线段PB上是否存在点M，使得∠BMC=90°？若存在，求出点M的坐标，若不存在，请说明理由．

（3）点K在抛物线上，点D为AB的中点，直线KD与直线BC的夹角为锐角，且tan=，求点K的坐标．

Answer 1

【答案】（1）；（2）线段上存在，使得，理由详见解析；（3）抛物线上符合条件的点坐标为： 或或或．

【解析】

（1）设二次函数的解析式为，将点C坐标代入可求解；

（2）利用中点坐标公式可求P（﹣1，2），点Q（2，2），由勾股定理可求BC的长，由待定系数法可求PB解析式，设点M，由两点距离公式可得，可求或，即可求解；

（3）过点D作DE⊥BC于点E，设直线DK与BC交于点N，先求出，，由锐角三角函数可求，分DK与射线EC交于点和DK与射线EB交于两种情况讨论，求出直线DK解析式，联立方程组可求点K坐标．

解：（1）二次函数的图象过点

设二次函数解析式为

又二次函数的图象过点，

∴，即

故二次函数解析式为

（2）线段上存在，使得，理由如下：

设中点为，由题意，易知的坐标为，

若，则

∵，∴≈的中点为

设所在的直线为，则，得

所在的直线为

在线段上，设的坐标为，其中

如图1，分别过，作轴与轴的垂线，，设，相交于点，

∴

∵

∴

整理得，解得或

当时，，重合，不合题意（舍去）

∴，则的坐标为

故线段上存在，使得

（3）如图2，过点作于点，设直线与交于点

∵

∴

∵

∴直线

在中

①若与射线交于点

∴

∴

∴

∴直线

∴

解得或

②若与射线交于点

∴

∴

∴

∴直线

，解得或

综上所述，抛物线上符合条件的点坐标为：

或或或．