Question

【题目】如图，的内切圆与，，分别相切于点，，，且，，，点在射线上运动，过点作，垂足为．

(1)直接写出线段，及半径的长：

(2)设，． 求关于的函数关系式：

(3)当与相切时，求相应的值．

Answer 1

【答案】（1），，的半径长为1；（2）（），（）；（3）的值为或1．

【解析】

（1）由勾股定理求AC的长度；设⊙O的半径为r，则r=（AC+BC-AB）；根据圆的切线定理、正方形的判定定理知四边形CEOF是正方形；然后由正方形的性质证得CF=OF=1，则由图中线段间的和差关系即可求得AD的长度；

（2）分类讨论：①当点P在线段AC上时，通过相似三角形△AHP∽△ACB的对应边成比例知，，将“PH=x，PC=y”代入求出即可求得y关于x的函数关系式；②当点P在线段AC的延长线上时，同理，利用相似三角形的性质求得y关于x的函数关系式；

（3）根据题意，可分成两种情况进行①当点在线段上时，与相切；②当点在的延长线上时，与相切；结合图形和所学的性质，即可求得y值．

解：（1）如图1，连接AO、DO．设⊙O的半径为r．

在Rt△ABC中，由勾股定理得AC=，

则⊙O的半径r=（AC+BC-AB）=×（4+3-5）=1；

∵CE、CF是⊙O的切线，∠ACB=90°，

∴∠CFO=∠FCE=∠CEO=90°，OF=OE，

∴四边形CEOF是正方形，

∴CF=OF=1；

又∵AD、AF是⊙O的切线，

∴AF=AD；

∴AF=AC-CF=AC-OF=4-1=3，

即AD=3；

∴，，的半径长为1．

（2）①如图，若点在线段上时，

在中，，，，

∵，，

∴，

∵，

∴，

∴，

∵，

∴

∴

∴，

∴与的函数关系式是：（）；

②同理，当点在线段的延长线上时，

，此时

则，有

∴，即与的函数关系式是：（）；

（3）①当点在线段上时，如图2，与相切．

∵，，

∴四边形是正方形，

∴；

由（1）知，四边形是正方形，

，

∴，即；

即，解得；

②当点在的延长线上时，如图，

∴与相切，此时．

综上所示，当与相切时，的值为或1．