Question

【题目】如图，已知点A是双曲线y= 在第三象限分支上的一个动点，连结AO并延长交另一分支于点B，以AB为边作等边三角形ABC，点C在第四象限内，且随着点A的运动，点C的位置也在不断变化，但点C始终在双曲线y= 上运动，则k的值是.

Answer 1

【答案】-3
【解析】解：如图，连接OC，

解：∵双曲线y= 关于原点对称，
∴点A与点B关于原点对称．
∴OA=OB．
∵△ABC是等边三角形，OA=OB，
∴OC⊥AB．∠BAC=60°．
∴tan∠OAC= = ．
∴OC= OA．
过点A作AE⊥y轴，垂足为E，
过点C作CF⊥y轴，垂足为F，
∵AE⊥OE，CF⊥OF，OC⊥OA，
∴∠AEO=∠OFC，∠AOE=90°-∠FOC=∠OCF．
∴△AEO∽△OFC．
∴ = ．
∵OC= OA，
∴OF= AE，FC= EO．
设点A坐标为（a，b），
∵点A在第一象限，
∴AE=a，OE=b．
∴OF= AE= a，FC= EO= b．
∵点A在双曲线y= 上，
∴ab= ．
∴FCOF= b a=3ab=3 ，
设点C坐标为（x，y），
∵点C在第四象限，
∴FC=x，OF=-y．
∴FCOF=x（-y）=-xy=-3 ．
∴xy=-3 ．
∵点C在双曲线y= 上，
∴k=xy=-3 ．
所以答案是-3 .
【考点精析】关于本题考查的相似三角形的判定，需要了解相似三角形的判定方法:两角对应相等，两三角形相似（ASA）；直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似； 两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似（SAS）；三边对应成比例，两三角形相似（SSS）才能得出正确答案．