Question

【题目】如图①，直线y= x+4交于x轴于点A，交y轴于点C，过A、C两点的抛物线F1交x轴于另一点B（1，0）．

（1）求抛物线F1所表示的二次函数的表达式；
（2）若点M是抛物线F1位于第二象限图象上的一点，设四边形MAOC和△BOC的面积分别为S四边形MAOC和S△BOC ， 记S=S四边形MAOC﹣S△BOC ， 求S最大时点M的坐标及S的最大值；
（3）如图②，将抛物线F1沿y轴翻折并“复制”得到抛物线F2 ， 点A、B与（2）中所求的点M的对应点分别为A′、B′、M′，过点M′作M′E⊥x轴于点E，交直线A′C于点D，在x轴上是否存在点P，使得以A′、D、P为顶点的三角形与△AB′C相似？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：令y=0代入y= x+4，

∴x=﹣3，

A（﹣3，0），

令x=0，代入y= x+4，

∴y=4，

∴C（0，4），

设抛物线F1的解析式为：y=a（x+3）（x﹣1），

把C（0，4）代入上式得，a=﹣ ，

∴y=﹣ x2﹣ x+4

（2）

解：如图①

设点M（a，﹣ a2﹣ a+4）

其中﹣3＜a＜0

∵B（1，0），C（0，4），

∴OB=1，OC=4

∴S△BOC= OBOC=2，

过点M作MD⊥x轴于点D，

∴MD=﹣ a2﹣ a+4，AD=a+3，OD=﹣a，

∴S四边形MAOC= ADMD+ （MD+OC）OD

= ADMD+ ODMD+ ODOC

= +

= +

= ×3（﹣ a2﹣ a+4）+ ×4×（﹣a）

=﹣2a2﹣6a+6

∴S=S四边形MAOC﹣S△BOC

=（﹣2a2﹣6a+6）﹣2

=﹣2a2﹣6a+4

=﹣2（a+ ）2+

∴当a=﹣ 时，

S有最大值，最大值为

此时，M（﹣ ，5）；

（3）

解：如图②

由题意知：M′ ，B′（﹣1，0），A′（3，0）

∴AB′=2

设直线A′C的解析式为：y=kx+b，

把A′（3，0）和C（0，4）代入y=kx+b，

得： ，

∴

∴y=﹣ x+4，

令x= 代入y=﹣ x+4，

∴y=2

∴

由勾股定理分别可求得：AC=5，DA′=

设P（m，0）

当m＜3时，

此时点P在A′的左边，

∴∠DA′P=∠CAB′，

当 时，△DA′P∽△CAB′，

此时， = （3﹣m），

解得：m=2，

∴P（2，0）

当 时，△DA′P∽△B′AC，

此时， = （3﹣m）

m=﹣ ，

∴P（﹣ ，0）

当m＞3时，

此时，点P在A′右边，

由于∠CB′O≠∠DA′E，

∴∠AB′C≠∠DA′P

∴此情况，△DA′P与△B′AC不能相似，

综上所述，当以A′、D、P为顶点的三角形与△AB′C相似时，点P的坐标为（2，0）或（﹣ ，0）．

【解析】（1）利用一次函数的解析式求出点A、C的坐标，然后再利用B点坐标即可求出二次函数的解析式；（2）由于M在抛物线F1上，所以可设M（a，﹣ a2﹣ a+4），然后分别计算S四边形MAOC和S△BOC ， 过点M作MD⊥x轴于点D，则S四边形MAOC的值等于△ADM的面积与梯形DOCM的面积之和．（3）由于没有说明点P的具体位置，所以需要将点P的位置进行分类讨论，当点P在A′的右边时，此情况是不存在；当点P在A′的左边时，此时∠DA′P=∠CAB′，若以A′、D、P为顶点的三角形与△AB′C相似，则分为以下两种情况进行讨论：① ；② ．本题是二次函数的综合问题，涉及待定系数法求解析式，二次函数最值问题，相似三角形的判定与性质等知识内容，综合程度较大，需要学生灵活运用所学知识解决问题．另外对于动点问题，通常可以用一参数m来表示该动点．
【考点精析】关于本题考查的二次函数的最值和相似三角形的判定与性质，需要了解如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大值（或最小值），即当x=-b/2a时，y最值=(4ac-b2)/4a；相似三角形的一切对应线段(对应高、对应中线、对应角平分线、外接圆半径、内切圆半径等）的比等于相似比；相似三角形周长的比等于相似比；相似三角形面积的比等于相似比的平方才能得出正确答案．