Question

【题目】如图，在中，，于，且.点从点出发，沿方向匀速运动，速度为；同时直线由点出发沿方向匀速运动,速度为，运动过程中始终保持，直线交于，交于，连接，设运动时间为.

（1）___________,__________，_____________；（用含的式子表示）

（2）当四边形是平行四边形时，求的值；

（3）当点在线段的垂直平分线上时，求的值；

（4）是否存在时刻，使以为直径的圆与的边相切？若存在，直接写出的值；若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1），，；（2）；（3）；（4）以为直径的圆与的边相切或或或.

【解析】

（1）根据题意表示出AM，即可表示出CM，证明BP=PQ，表示出BP即可，

先求出BC长，根据△BPQ∽△BAC，表示出BQ即可；

（2）当四边形是平行四边形时，，列出等式求解即可；

（3）当点在线段的垂线平分线上时，则，分别用代数式表示出MP和MC，然后解方程即可；

（4）分①与相切，②与相切，③与相切，三种情况，根据切线的性质分别求出t即可.

解：（1）点从点出发，沿方向匀速运动，速度为，

∴AM=2t，

∵AB=AC=10cm，

∴CM=10-2t，

∵同时直线由点出发沿方向匀速运动,速度为，

∴BP=t，

∵PQ∥AC，

∴∠PQB=∠C=∠ABC，

∴PQ=BP=t，

∵BD⊥AC，

∴∠BDA=90°，

∵BD=8cm，

∴AD=，

∴CD=4cm，

∴BC=，

∵PQ∥AC，

∴△BPQ∽△BAC，

∴，即，

∴，

故答案为：，，；

（2）当四边形是平行四边形时，

∴，，

即，

解得，

∴四边形是平行四边形时，；

（3）当点在线段的垂线平分线上时，

∴，

过点作于点，

在中，

，

，

，

在中，

，

，

，

，

，

，

解得：（舍去），，

∴当点在线段的垂直平分线上时；

（4）存在，理由如下：

①与相切，即时，

∴，

∴，

解得；

②与相切，即，

∴，

∴，

解得：

③与相切，

设圆心为E，与BC的切点为K，连接EK，则EK⊥BC，

作PG⊥BC于G，AS⊥BC于S，MH⊥BC于H，

则EK∥PG∥MH，

∵BC=，

∴BS=，

∴AS=，

∴，

∴，

∴，

∴，

∵E为PM的中点，

∴K为GH的中点，

∴EK为梯形PGHM的中位线，

∴，

∴PM=2KE，

∴

解得：或；

综上，以为直径的圆与的边相切或或或.