题目内容
【题目】如图，在矩形
中，
，
，点
为
边上的一个动点、过点作
交
边于点
，把线段
绕点旋转至
（点
与点
对应），点落在线段
上，若
恰好平分
，则
的长为_________．
【答案】4
【解析】
由PQ∥AC，可得△BPQ∽△BCA，得到BP:BQ=BC:BA=3:4，设BP=3x，则BQ=4x，PQ=5x，PE=PB=3x，又AE恰好平分∠BAC，由此得到∠QAE=∠EAC=∠AEQ，进而得到△QAE是等腰三角形，QE=AQ=2x，进而得到AB=AQ+QB=6x=8，解出x的值即可求解.
解：如下图：
∵PQ∥AC，∴∠QPB=∠ACB，且∠B为公共角
∴△BPQ∽△BCA
∴
，设BP=3x，则BQ=4x，PQ=5x，PE=PB=3x
∵AE恰好平分∠BAC，
∴∠QAE=∠EAC
又PQ∥AC
∴∠EAC=∠AEQ
∴∠QAE=∠AEQ
∴△AQE为等腰三角形，且AQ=QE=2x
∴AB=AQ+BQ=2x+4x=6x，又AB=8
∴6x=8，
∴BP=3x=4.
故答案为：4.
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