Question

【题目】如图，矩形OABC的顶点A、C分别在的正半轴上，点B的坐标为(3,4)一次函数的图象与边OC、AB分别交于点D、E，并且满足OD= BE.点M是线段DE上的一个动点.

(1)求b的值；

(2)连结OM，若三角形ODM的面积与四边形OAEM的面积之比为1：3，求点M的坐标；

(3)设点N是轴上方平面内的一点，以O、D、M、N为顶点的四边形是菱形，求点N的坐标.

Answer 1

【答案】（1）；

（2）M(1, )；

（3）当四边形OMDN是菱形时，M(,)N(,)

【解析】分析：（1）首先在一次函数的解析式中令x=0，即可求得D的坐标，则OD的长度即可求得，OD=b，则E的坐标即可利用b表示出来，然后代入一次函数解析式即可得到关于b的方程，求得b的值；（2）首先求得四边形OAED的面积，则△ODM的面积即可求得，设出M的横坐标，根据三角形的面积公式即可求得M的横坐标，进而求得M的坐标；（3）分成四边形OMDN是菱形和四边形OMND是菱形两种情况进行讨论，四边形OMDN是菱形时，M是OD的中垂线与DE的交点，M关于OD的对称点就是N；四边形OMND是菱形，OM=OD，M在直角DE上，设出M的坐标，根据OM=OD即可求得M的坐标，则根据ON和DM的中点重合，即可求得N的坐标．

本题解析：(1)y= x+b中,令x=0,解得y=b,则D的坐标是(0,b)，OD=b，

∵OD=BE，

∴BE=b,则E的坐标是(3,4b)，

把E的坐标代入y=x+b得4b=2+b，

解得：b=3；

(2) ，

∵三角形ODM的面积与四边形OAEM的面积之比为1:3，

∴ .

设M的横坐标是a,则 ×3a=1.5，解得：a=1,

把x=a=1代入y=x+3得y=×+3= .

则M的坐标是(1, )；

(3)当四边形OMDN是菱形时,如图(1),M的纵坐标是 ,把y=代入y=x+3,得x+3=,解得：x=，

则M的坐标是(,)，

则N的坐标是(,)；

当四边形OMND是菱形时,如图(2)OM=OD=3,设M的横坐标是m,则纵坐标是m+3，则，

解得：m=或0(舍去).

则M的坐标是(,).

则DM的中点是(,).

则N的坐标是(,).

故N的坐标是(,)或(,).