Question

【题目】如图，已知在Rt△ABC与Rt△ECD中，∠ACB=∠ECD=90°，CD为Rt△ABC斜边上的中线，且ED∥BC．

（1）求证：△ABC∽△EDC；
（2）若CE=3，CD=4，求CB的长．

Answer 1

【答案】
（1）证明：∵在Rt△ABC，CD为Rt△ABC斜边上的中线，

∴CD=BD，

∴∠DCB=∠B，

∵ED∥BC，

∴∠EDC=∠BCD，

∴∠B=∠EDC，

∵∠ACB=∠ECD=90°，

∴△ABC∽△EDC

（2）解：∵∠DCE=90°，CE=3，CD=4，

∴DE= =5，

∵在Rt△ABC，CD为Rt△ABC斜边上的中线，

∴AB=2CD=8，

∵△ABC∽△EDC，

∴ ，即 ，

∴BC= ．

【解析】（1）根据直角三角形的性质得到CD=BD，由等腰三角形的性质得到∠DCB=∠B，根据平行线的性质得到∠EDC=∠BCD，等量代换得到∠B=∠EDC，根据相似三角形的判定定理即可得到结论；（2）根据勾股定理得到DE= =5，由直角三角形的性质得到AB=2CD=8，根据相似三角形的性质即可得到结论．
【考点精析】解答此题的关键在于理解相似三角形的判定与性质的相关知识，掌握相似三角形的一切对应线段(对应高、对应中线、对应角平分线、外接圆半径、内切圆半径等）的比等于相似比；相似三角形周长的比等于相似比；相似三角形面积的比等于相似比的平方．