Question

【题目】如图，已知在△ABC中，BC=AC，以BC为直径的⊙O与边AB、AC分别交于点D，E，DF⊥AC于点F．

（1）求证：点D是AB的中点；
（2）判断DF与⊙O的位置关系，并证明你的结论；
（3）若⊙O的直径为20，cosB= ，求阴影部分面积．

Answer 1

【答案】
（1）证明：如图1，连接CD，

∵BC是⊙O的直径，

∴∠BDC=90°，

∴CD⊥AB，

∵AC=BC，

∴点D是AB的中点

（2）解：DF与⊙O相切，如图2，连接OD，

∵O是BC的中点，点D是AB的中点，

∴OD是△ABC的中位线，

∴OD∥AC，

∵DF⊥AC，

∴DF⊥OD，

∴DF与⊙O相切

（3）证明：如图3，连接OE、BE，

∵cos∠ABC= ，

∴∠ABC=60°，

∵AC=BC，

∴△ABC是等边三角形，

∴∠ECB=60°，

∵BC是⊙O的直径，

∴∠BEC=90°，

∴∠EBC=30°，

∴∠EOC=60°，

∵BC=20，

∴EC=10，

由勾股定理得：BE= =10 ，

∴S△OEC= S△BEC= × BECE= ×10 ×10=25 ，

∴S阴影=S扇形OEC﹣S△OEC= ﹣25 = ﹣25 ．

【解析】（1）连接CD，根据直径所对的圆周角为90°得∠BDC=90°，再由等腰三角形的三线合一得出结论；（2）根据中位线的定义可以知道：OD是△ABC的中位线，则OD∥AC，因为DF⊥AC，所以DF⊥OD，得出DF与⊙O相切；（3）如图3，连接OE、BE，先根据特殊的三角函数值求出∠ABC=60°，所以△ABC是等边三角形，求出直角△BEC各边的长，就可以求其面积，根据中线的性质可知△OEC的面积就是△BEC面积的﹣半，所求的阴影面积是扇形面积与△OEC的面积的差．