Question

【题目】如图，已知一次函数y=2x+2的图象与y轴交于点B，与反比例函数y= 的图象的一个交点为A（1，m）．过点B作AB的垂线BD，与反比例函数y= （x＞0）的图象交于点D（n，﹣2）．

（1）求k1和k2的值；
（2）若直线AB、BD分别交x轴于点C、E，试问在y轴上是否存在一个点F，使得△BDF∽△ACE？若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：将A（1，m）代入一次函数y=2x+2中，得：m=2+2=4，即A（1，4），

将A（1，4）代入反比例解析式y= 得：k1=4；

过A作AM⊥y轴，过D作DN⊥y轴，

∴∠AMB=∠DNB=90°，

∴∠BAM+∠ABM=90°，

∵AC⊥BD，即∠ABD=90°，

∴∠ABM+∠DBN=90°，

∴∠BAM=∠DBN，

∴△ABM∽△BDN，

∴ = ，即 = ，

∴DN=8，

∴D（8，﹣2），

将D坐标代入y= 得：k2=﹣16

（2）

解：符合条件的F坐标为（0，﹣8），理由为：

由y=2x+2，求出C坐标为（﹣1，0），

∵OB=ON=2，DN=8，

∴OE=4，

可得AE=5，CE=5，AC=2 ，BD=4 ，∠EBO=∠ACE=∠EAC，

若△BDF∽△ACE，则 = ，即 = ，

解得：BF=10，

则F（0，﹣8）．

综上所述：F点坐标为（0，﹣8）时，△BDF∽△ACE．

【解析】（1）将A坐标代入一次函数解析式中求出m的值，确定出A的坐标，将A坐标代入反比例函数y= 中即可求出k1的值；过A作AM垂直于y轴，过D作DN垂直于y轴，可得出一对直角相等，再由AC垂直于BD，利用同角的余角相等得到一对角相等，利用两对对应角相等的两三角形相似得到三角形ABM与三角形BDN相似，由相似得比例，求出DN的长，确定出D的坐标，代入反比例函数y= 中即可求出k2的值；（2）在y轴上存在一个点F，使得△BDF∽△ACE，此时F（0，﹣8），理由为：由y=2x+2求出C坐标，由OB=ON=2，DN=8，可得出OE为三角形BDN的中位线，求出OE的长，进而利用两点间的距离公式求出AE，CE，AC，BD的长，以及∠EBO=∠ACE=∠EAC，若△BDF∽△ACE，得到比例式，求出BF的长，即可确定出此时F的坐标，
再利用BD=DF时，进而得出即可．
【考点精析】认真审题，首先需要了解一次函数的性质(一般地，一次函数y=kx+b有下列性质：（1）当k>0时，y随x的增大而增大（2）当k<0时，y随x的增大而减小)，还要掌握反比例函数的图象(反比例函数的图像属于双曲线．反比例函数的图象既是轴对称图形又是中心对称图形．有两条对称轴：直线y=x和 y=-x．对称中心是：原点)的相关知识才是答题的关键．