Question

【题目】如图1，抛物线与x轴交于点A（﹣5，0）、B（﹣1，0），与y轴交于点C（0，﹣5），点P是抛物线上的动点，连接PA、PC，PC与x轴交于点D．

（1）求该抛物线所对应的函数解析式；

（2）若点P的坐标为（﹣2，3），请求出此时△APC的面积；

（3）过点P作y轴的平行线交x轴于点H，交直线AC于点E，如图2．

①若∠APE=∠CPE，求证：；

②△APE能否为等腰三角形？若能，请求出此时点P的坐标；若不能，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）15；（3）①证明见解析；②P（﹣1，0），（﹣2，3），（，）．

【解析】

试题分析：（1）设交点式为y=a（x+5）（x+1），然后把C点坐标代入求出a即可；

（2）先利用待定系数法求出直线AC的解析式为y=﹣x﹣5，作PQ∥y轴交AC于Q，如图1，由P点坐标得到Q（﹣2，﹣3），则PQ=6，然后根据三角形面积公式，利用S△APC=S△APQ+S△CPQ进行计算；

（3）①由∠APE=∠CPE，PH⊥AD可判断△PAD为等腰三角形，则AH=DH，设P（x，），则OH=﹣x，OD=﹣x﹣DH，通过证明△PHD∽△COD，利用相似比可表示出DH=，则，则解方程求出x可得到OH和AH的长，然后利用平行线分线段成比例定理计算出；

②设P（x，），则E（x，﹣x﹣5），分类讨论：当PA=PE，易得点P与B点重合，此时P点坐标为（﹣1，0）；当AP=AE，如图2，利用PH=HE得到，当E′A=E′P，如图2，AE′=E′H′=（x+5），P′E′=，则，然后分别解方程求出x可得到对应P点坐标．

试题解析：（1）解：设抛物线解析式为y=a（x+5）（x+1），把C（0，﹣5）代入得a51=﹣5，解得a=﹣1，所以抛物线解析式为y=﹣（x+5）（x+1），即；

（2）解：设直线AC的解析式为y=mx+n，把A（﹣5，0），C（0，﹣5）代入得：，解得：，∴直线AC的解析式为y=﹣x﹣5，作PQ∥y轴交AC于Q，如图1，则Q（﹣2，﹣3），∴PQ=3﹣（﹣3）=6，∴S△APC=S△APQ+S△CPQ=PQ5=×6×5=15；

（3）①证明：∵∠APE=∠CPE，而PH⊥AD，∴△PAD为等腰三角形，∴AH=DH，设P（x，），则OH=﹣x，OD=﹣x﹣DH，∵PH∥OC，∴△PHD∽△COD，∴PH：OC=DH：OD，即（）：5=DH：（﹣x﹣DH），∴DH=，而AH+OH=5，∴，整理得：，解得，（舍去），∴OH=，∴AH==，∵HE∥OC，∴===；

②能．设P（x，），则E（x，﹣x﹣5），当PA=PE，因为∠PEA=45°，所以∠PAE=45°，则点P与B点重合，此时P点坐标为（﹣1，0）；

当AP=AE，如图2，则PH=HE，即，解，得（舍去），（舍去）；解，得（舍去），，此时P点坐标为（﹣2，3）；

当E′A=E′P，如图2，AE′=E′H′=（x+5），P′E′==，则，解得（舍去），，此时P点坐标为（，）．

综上所述，满足条件的P点坐标为（﹣1，0），（﹣2，3），（，）．