Question

【题目】如图，点C、D在线段AB上，且△PCD是等边三角形．∠APB＝120°．

（1）求证：△ACP∽△PDB；

（2）当AC＝4，BD＝9时，试求CD的值．

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）6．

【解析】

（1）先证明∠ACP＝∠PDB＝120°，然后由∠A+∠B＝60°，∠DPB+∠B＝60°可证明∠A＝∠DPB，从而可证明△ACP∽△PDB．

（2）由相似三角形的性质得到 ，根据等边三角形的性质得到PC＝PD＝CD，等量代换得到 ，即可得到答案．

（1）证明：∵△PCD为等边三角形，

∴∠PCD＝∠PDC＝60°．

∴∠ACP＝∠PDB＝120°．

∵∠APB＝120°，

∴∠A+∠B＝60°．

∵∠PDB＝120°，

∴∠DPB+∠B＝60°．

∴∠A＝∠DPB．

∴△ACP∽△PDB．

（2）解：由（1）得△ACP∽△PDB，

∴，

∵△PCD是等边三角形，

∴PC＝PD＝CD，

∴，

∴CD2＝ACBD．

∵AC＝4，BD＝9，

∴CD＝6．