题目内容
【题目】如图，A，B，C，D是⊙O上的四点，∠BAC=∠CAD，P是线段CD延长线上一点，且∠PAD=∠ABD．
（1）请判断△BCD的形状（不要求证明）；
（2）求证：PA是⊙O的切线；
（3）求证：AP2﹣DP2=DPBC．
【答案】
（1）
解：∵∠BAC=∠CAD，
∴ 
，
∴∠BDC=∠CBD，
∴△BCD是等腰三角形
（2）
证明：连接OA、OD，
则∠AOD=180°﹣2∠OAD，
∵∠AOD=2∠ABD=2∠PAD，
∴∠PAD=90°﹣∠OAD，
∴∠PAD+∠OAD=90°，
∴OA⊥AP，
∴PA是⊙O的切线．
（3）
证明：∵PA是⊙O的切线，
∴AP2=PD×PC，
∴AP2﹣DP2=PD×PC﹣DP2=DP（PC﹣DP）=DP×CD，
又∵BC=CD，
∴AP2﹣DP2=DPBC．
【解析】（1）由圆周角定理可得∠BDC=∠BAC，再由∠BAC=∠CAD，可判断△BCD的形状；（2）连接OA、OD，则可得∠AOD=180°﹣2∠OAD，再由∠AOD=2∠ABD=2∠PAD，可得∠PAD=90°﹣∠OAD，从而可得OA⊥AP，判断出结论．（3）应用切割线定理可得AP2=PD×PC，然后提取公因式DP后，可得出等式．
【题目】某商场经营某种品牌的玩具，购进时的单价是30元，根据市场调查：在一段时间内，销售单价是40元时，销售量是600件，而销售单价每涨1元，就会少售出10件玩具．
（1）不妨设该种品牌玩具的销售单价为x元（x＞40），请你分别用x的代数式来表示销售量y件和销售该品牌玩具获得利润w元，并把结果填写在表格中：
销售单价（元） | x |
销售量y（件） | |
销售玩具获得利润w（元） |
（2）在（1）问条件下，若商场获得了10000元销售利润，求该玩具销售单价x应定为多少元．
（3）在（1）问条件下，若玩具厂规定该品牌玩具销售单价不低于44元，且商场要完成不少于540件的销售任务，求商场销售该品牌玩具获得的最大利润是多少？
