Question

已知：如图，AC⊙O是的直径，BC是⊙O的弦，点P是⊙O外一点，∠PBA=∠C．

（1）求证：PB是⊙O的切线；
（2）若OP∥BC，且OP=8，BC=2．求⊙O的半径．

Answer 1

解：（1）证明：连接OB，

∵AC是⊙O直径，∴∠ABC=90°。 
∵OC=OB，∴∠OBC=∠ACB。
∵∠PBA=∠ACB，∴∠PBA=∠OBC。
∴∠PBA+∠OBA=∠OBC+∠ABO=∠ABC=90°。
∴OB⊥PB。
∵OB为半径，∴PB是⊙O的切线。
（2）设⊙O的半径为r，则AC=2r，OB=R，
∵OP∥BC，∠OBC=∠OCB，∴∠POB=∠OBC=∠OCB。
∵∠PBO=∠ABC=90°，∴△PBO∽△ABC。
∴，即，解得。
∴⊙O的半径为。

试题分析：（1）连接OB，求出∠ABC=90°，∠PBA=∠OBC=∠OCB，推出∠PBO=90°，根据切线的判定推出即可。
（2）证△PBO和△ABC相似，得出比例式，代入求出即可。