Question

在平面直角坐标系中，已知M₁（3，2），N₁（5，﹣1），线段M₁N₁平移至线段MN处（注：M₁与M，N₁与N分别为对应点）．

（1）若M（﹣2，5），请直接写出N点坐标．
（2）在（1）问的条件下，点N在抛物线上，求该抛物线对应的函数解析式．
（3）在（2）问条件下，若抛物线顶点为B，与y轴交于点A，点E为线段AB中点，点C（0，m）是y轴负半轴上一动点，线段EC与线段BO相交于F，且OC：OF=2：，求m的值．
（4）在（3）问条件下，动点P从B点出发，沿x轴正方向匀速运动，点P运动到什么位置时（即BP长为多少），将△ABP沿边PE折叠，△APE与△PBE重叠部分的面积恰好为此时的△ABP面积的，求此时BP的长度．

Answer 1

解：（1）（0，2）。
（2）∵N（0，2）在抛物线上，∴k=2。

∴抛物线的解析式为。
（3）∵，
∴B（，0）、A（0，2）、E（，1）。
∵CO：OF=2：，
∴CO=﹣m，FO=m，。
∵，∴。
整理得：m²+m=0。∴m=﹣1或0 。
∵m＜0，∴m=﹣1。
（4）在Rt△ABO中，，
∴∠ABO=30°，AB=2AO=4
①当∠BPE＞∠APE时，连接A₁B，则对折后如图2，A₁为对折后A的所落点，△EHP是重叠部分。

∵E为AB中点，∴S_△AEP=S_△BEP=S_△ABP。
∵S_△EHP=S_△ABP，∴ =S_△EHP=S_△BHP=S_△ABP。
∴A₁H=HP，EH=HB=1。∴四边形A₁BPE为平行四边形。
∴BP=A₁E=AE=2。
②当∠BPE=∠APE时，重叠部分面积为△ABP面积的一半，不符合题意。
③当∠BPE＜∠APE时．则对折后如图3，A₁为对折后A的所落点，△EHP是重叠部分。

∵E为AB中点，∴S_△AEP=S_△BEP=S_△ABP。
∵S_△EHP=S_△ABP，∴S_△EBH=S_△EHP=₌S_△ABP。
∴BH=HP，EH=HA₁=1。
又∵BE=EA=2，∴EHAP。∴AP=2。
在△APB中，∠ABP=30°，AB=4，AP=2，
∴∠APB=90°。∴BP=。
综上所述，BP=2或。

解析试题分析：（1）首先根据点M的移动方向和单位得到点N的平移方向和单位，然后按照平移方向和单位进行移动即可：
由于图形平移过程中，对应点的平移规律相同，
由点M到点M′可知，点的横坐标减5，纵坐标加3，
故点N′的坐标为（5﹣5，﹣1+3），即（0，2）。
（2）将点N的坐标代入函数的解析式即可求得k值。
（3）配方后确定点B、A、E的坐标，根据CO：OF=2：，用m表示出线段CO、FO和BF的长，利用得到关于m的方程，求得m的值即可。
（4）分当∠BPE＜∠APE时、当∠BPE=∠APE时、当∠BPE＜∠APE时三种情况分类讨论即可。