题目内容

如图,抛物线y=ax2+c(a≠0)经过C(2,0),D(0,﹣1)两点,并与直线y=kx交于A、B两点,直线l过点E(0,﹣2)且平行于x轴,过A、B两点分别作直线l的垂线,垂足分别为点M、N.

(1)求此抛物线的解析式;
(2)求证:AO=AM;
(3)探究:
①当k=0时,直线y=kx与x轴重合,求出此时的值;
②试说明无论k取何值,的值都等于同一个常数.

解:(1)∵抛物线y=ax2+c(a≠0)经过C(2,0),D(0,﹣1),
,解得
∴抛物线的解析式为y=x2﹣1。
(2)证明:设点A的坐标为(m, m2﹣1),

∵直线l过点E(0,﹣2)且平行于x轴,∴点M的纵坐标为﹣2。
∴AM=m2﹣1﹣(﹣2)=m2+1。
∴AO=AM。
(3)①k=0时,直线y=kx与x轴重合,点A、B在x轴上,
∴AM=BN=0﹣(﹣2)=2,

②k取任何值时,设点A(x1 x12﹣1),B(x2 x22﹣1),

联立,消掉y得,x2﹣4kx﹣4=0,
由根与系数的关系得,x1+x2=4k,x1•x2=﹣4,
∴x12+x22=(x1+x22﹣2x1•x2=16k2+8,x12•x22=16。

∴无论k取何值,的值都等于同一个常数1。

解析试题分析:(1)把点C、D的坐标代入抛物线解析式求出a、c,即可得解。
(2)根据抛物线解析式设出点A的坐标,然后求出AO、AM的长,即可得证。
(3)①k=0时,求出AM、BN的长,然后代入计算即可得解;
②设点A(x1 x12﹣1),B(x2 x22﹣1),然后表示出,再联立抛物线与直线解析式,消掉未知数y得到关于x的一元二次方程,利用根与系数的关系表示出x1+x2,x12,并求出x12+x22,x12•x22,然后代入进行计算即可得解。

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