Question

如图，在?ABCD中，O是对角线AC的中点，过点O作AC的垂线与边AD、BC分别交于E、F．
（1）四边形AFCE是菱形吗？请说明理由；
（2）若AF⊥BC，试猜想四边形AFCE是什么特殊四边形，并说明理由．

Answer 1

分析：（1）根据平行四边形性质推出AD∥BC，根据平行线分线段成比例定理求出OE=OF，推出平行四边形AFCE，根据菱形的判定推出即可；
（2）由“有一个直角的菱形是正方形”判定四边形AFCE是正方形．

解答：解：（1）是菱形，理由如下：
：∵平行四边形ABCD，
∴AD∥BC，
∴

AO

OC

=

EO

OF

，
∵O是对角线AC的中点，
∴AO=OC，
∴OE=OF，
∴四边形AFCE是平行四边形，
∵EF⊥AC，
∴平行四边形AFCE是菱形；

（2）四边形AFCE为正方形．
∵∠AFC=90°，由（1）知四边形AFCE为菱形，
∴四边形AFCE是正方形（有一个直角的菱形是正方形）．

点评：本题考查了平行线分线段成比例定理，平行四边形的性质，菱形的判定、正方形的判定等知识点的运用，关键是根据题意推出OE=OF，题目比较典型，难度适中．