题目内容
如图,△ABC内,∠BAC=60°,∠ACB=40°,P,Q分别在BC,CA上,并且AP,BQ分别是∠BAC,∠ABC的平分线,求证:BQ+AQ=AB+BP.
![](http://thumb.1010pic.com/pic5/upload/201310/5286c7a1bbda2.png)
∵AP,BQ分别是∠BAC,∠ABC的平分线,∠BAC=60°,∠ACB=40°,
∴∠1=∠2=30°,∠ABC=180°-60°-40°=80°,
∠3=∠4=40°=∠C.
∴QB=QC,
又∠D+∠5=∠3+∠4=80°,
∴∠D=40°.
在△APD与△APC中,
AP=AP,
∠1=∠2,∠D=∠C=40°
∴△APD≌△APC(AAS),
∴AD=AC.
即AB+BD=AQ+QC,
∴AB+BP=BQ+AQ.
分析:延长AB到D,使BD=BP,连接PD.则∠D=∠5.由已知条件不难算出:∠1=∠2=30°,∠3=∠4=40°=∠C.
于是QB=QC.又∠D+∠5=∠3+∠4=80°,故∠D=40°.于是△APD≌△APC(AAS),所以AD=AC.即AB+BD=AQ+QC,等量代换即可得证.
点评:本题实际是以角平分线AP为对称轴将△APC翻折成△APD.利用对称变换解题常常选择角平分线,某一线段的垂直平分线作为对称轴.作辅助线构造全等三角形是关键.
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练习册系列答案
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