Question

如图，△ABC内接于⊙O，且∠B=60°．过点C作圆的切线l与直径AD的延长线交于点E，AF⊥l，垂足为F，CG⊥AD，垂足为G．
（1）求证：△ACF≌△ACG；
（2）若AF=4

3

，求图中阴影部分的面积．

Answer 1

分析：（1）连接CD，OC．根据圆周角定理的推论求得ADC=∠B=60°，根据直径所对的圆周角是直角得AC⊥CD，则根据等角的余角相等得到∠ACG=∠ADC=60°，从而得到△OCD为正三角形，进一步求得∠ECD=30°，证明∠ACF=∠ACG=60°．最后根据AAS即可证明三角形全等；
（2）结合图形，可以把阴影部分的面积转化为三角形COE的面积减去扇形OCD的面积．根据30°的直角三角形的性质即可求得OC、CE的长，从而求解．

解答：（1）证明：如图，连接CD，OC，则∠ADC=∠B=60°．
∵AD是圆的直径，
∴∠ACD=90°
又∵∠ADC=∠B=60°
∴∠CAD=30°
∵EF与圆相切，
∴∠FCA=∠ADC=60°
∴直角△ACF中，∠FAC=30°，
∴∠FAC=∠CAD，
又∵CG⊥AD，AF⊥EF
∴FC=CG
则在△ACF和△ACG中：

∠FAC=∠CAD ∠AFC=∠AGC FC=CG

∴△ACF≌△ACG（AAS）．

（2）解：在Rt△ACF中，∠ACF=60°，AF=4

3

，
∴∠FAC=30°，
∴FC=

1

2

AC，
设FC=x，则AC=2x，
（2x）²-x²=（4

3

）²，
解得：x=4，
∴CF=4．
在Rt△OCG中，∠COG=60°，CG=CF=4，得OC=

4

3 2

=

8 3

3

．
在Rt△CEO中，OE=

16 3

3

．
于是S_阴影=S_△CEO-S_扇形COD=

1

2

OE•CG-

60π•OC2

360

=

32 3

3

-

32π

9

=

96 3 -32π

9

．

点评：此题综合运用了圆周角定理的推论、等边三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、30°的直角三角形的性质以及三角形和扇形的面积公式．