Question

如图，△ABC内接于⊙O，且AB＞AC．∠BAC的外角平分线交⊙O于E，EF⊥AB，垂足为F．
（1）求证：EB=EC；
（2）分别求式子

AB+AC

BF

、

AB-AC

AF

的值；
（3）若EF=AC=3，AB=5，求△AEF的面积．

Answer 1

分析：（1）由角平分线的定义得∠1=∠2，再根据圆内四边形的性质得∠1=∠EBC，根据圆周角定理得∠2=∠3，利用等量代换得∠EBC=∠3，然后根据等腰三角形的判定即可得到结论；
（2）在BA上截取BD=CA，可根据“SAS”判断△BED≌△CEA，则ED=EA，再根据等腰三角形的性质得DF=AF，然后利用等量代换可得到AB+AC=2DF，AB-AC=2AF，则易得式子

AB+AC

BF

、

AB-AC

AF

的值；
（3由（2）得到AC=BD，AF=DF，则BD=AC=3，再由AB=BD+DF+AF=AC+2AF=5得到AF=1，然后根据三角形面积公式求解．

解答：（1）证明：∵∠BAC的外角平分线交⊙O于E，
∴∠1=∠2，
∵∠1=∠EBC，∠2=∠3，
∴∠EBC=∠3，
∴EB=EC；

（2）解：在BA上截取BD=CA，如图，
在△BED和△CEA中

BE=CE ∠4=∠5 BD=CA

，
∴△BED≌△CEA（SAS），
∴ED=EA，
∵EF⊥AD，
∴DF=AF，
∴AB+AC=BD+DF+AF+BD=BF+DF+BD=2DF，
AB-AC=BD+DF+AF-BD=2AF，
∴

AB+AC

BF

=

2BF

BF

=2，

AB-AC

AF

=

2AF

AF

=2；

（3）解：由（2）得BD=AC=3，
∵AB=BD+DF+AF=AC+2AF，
∴3+2AF=5，
∴AF=1，
而EF=3，
∴△AEF的面积=

1

2

×3×1=

3

2

．

点评：本题考查了圆的综合题：熟练运用圆周角定理和等腰三角形的判定与性质；利用三角形全等解决线段相等是常用的方法．