Question

【题目】如图，在ABCD中 过点A作AE⊥DC，垂足为E，连接BE，F为BE上一点，且∠AFE=∠D．

（1）求证：△ABF∽△BEC；
（2）若AD=5，AB=8，sinD= ，求AF的长．

Answer 1

【答案】
（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AD∥BC，AD=BC，
∴∠D+∠C=180°，∠ABF=∠BEC，∵∠AFB+∠AFE=180°，∴∠C=∠AFB，∴△ABF∽△BEC
（2）解：∵AE⊥DC，AB∥DC，∴∠AED=∠BAE=90°，
在Rt△ABE中，根据勾股定理得：BE= ,
在Rt△ADE中，AE=ADsinD=5× =4，∵BC=AD=5，
由（1）得：△ABF∽△BEC，∴ ，即 ，解得：AF=2
【解析】由平行四边形的性质得出AB∥CD，AD∥BC，AD=BC，得出∠D+∠C=180°，∠ABF=∠BEC，证出∠C=∠AFB，即可得出结论；
由三角函数求出AE，由勾股定理求出BE，再由相似三角形的性质求出AF的长．