Question

如图，已知AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C的直线与AB的延长线交于点P，AC=PC，∠COB=2∠PCB．
（1）求证：PC是⊙O的切线；
（2）求∠P的度数；
（3）点M是弧AB的中点，CM交AB于点N，AB=4，求线段BM、CM及弧BC所围成的图形面积．

Answer 1

（1）证明：∵OA=OC，∴∠A=∠ACO
∵∠COB=2∠A，∠COB=2∠PCB
∴∠A=∠ACO=∠PCB（1分）
∵AB是⊙O的直径
∴∠ACO+∠OCB=90°（2分）
∴∠PCB+∠OCB=90°，即OC⊥CP（3分）
∵OC是⊙O的半径
∴PC是⊙O的切线（4分）

（2）∵PC=AC，∴∠A=∠P
∴∠A=∠ACO=∠P（5分）
∵∠A+∠ACO+∠PCO+∠P=180°
∴3∠P=90°
∴∠P=30°（6分）

（3）∵点M是半圆O的中点，
∴CM是角平分线，
∴∠BCM=45°（7分）
由（2）知∠BMC=∠A=∠P=30°，∴BC=

1

2

AB=2（8分）
作BD⊥CM于D，
∴CD=BD=

2

2

BC=

2

，
∴DM=

3

BD=

6

∴CM=

2

+

6

（9分）
∴S_△BCM=

1

2

CM•BD=

3

+1（10分）
∵∠BOC=2∠A=60°，∴弓形BmC的面积=

2

3

π-

3

（11分）
∴线段BM、CM及弧BC所围成的图形面积为

2

3

π+1（12分）
（注：其它解法，请参照给分）