Question

如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于E，弦CD、AF相交于点G，过点D作⊙O的切线交AF的延长线于M，且

AC

=

CBF

．
（1）在图中找出相等的线段（直接在横线上填写，所写结论至少3组，所添辅助线段除外，不需写推理过程）______；
（2）连接AD，DF（请将图形补充完整），若AO=

4

5

15

，OE=

1

5

15

，求AD：DF的值；
（3）在满足（1）、（2）的前提下，求DM的长．

Answer 1

（1）CE=DE，OA=OB，CD=AF；

（2）由题意，知：AE=AO+OE=

15

，BE=OB-OE=

3

5

15

，
由相交弦定理，知：DE²=AE•EB=9，即DE=3，CD=6，
Rt△ADE中，由勾股定理，得：
AD²=AE²+DE²=24
∵

AD

=

AC

=

CBF

∴∠ADG=∠AFD
∴△ADG∽△AFD
∴AD²=AG•AF，即AG=

AD2

AF

=4
∴GF=AF-AG=2
连接AC，易证得△ACG∽△FDG
∴

AC

DF

=

AG

GF

=2
∵

AC

=

AD

∴AD=AC，即

AD

AF

=2；

（3）∵MD切⊙O于D，
∴∠MDF=∠MAD
又∵∠FMD=∠DMA
∴△DMF∽△AMD
∴

MD

AM

=

DF

AD

=

1

2

设MD=x，则AM=2x，MF=2x-6
由切割线定理，得：DM²=MF•AM
即：x²=（2x-6）×2x，解得x=4
即MD=4．